[論文レビュー] Slow quenches in XXZ spin-chains -- the role of Galilean invariance breaking

Piotr Chudziński|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2016

Quantum many-body systems被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ギャリレオ不変性の破れが時間に依存する異方性 $J_z$ に起因するXXZスピン鎖における緩やかなクエンチを、トモナガ＝ラッティンガー液体相で調査する。線形ラムプおよび特化したプロトコルを用いて、正確な解析的解を導出し、伝播するフロントの形状がギャリレオ不変性の破れによって最も顕著に変化することを示す。特に、不完全なガンマ関数が支配する中間領域において、相関関数に伸びた指数関数的挙動が現れる。

ABSTRACT

We study a XXZ spin-chain in a gapless Tomonaga-Luttinger liquid (TLL) phase with time dependent anisotropy of spin exchange interactions. To begin we focus on a linear ramp of $J_z$, starting at XX point and slowly increasing towards the anti-ferromagnetic Heisenberg point. Although the problem of a linear ramp in the TLL has been recently under intense scrutiny in a perturbative \emph{g-ology} framework, an aspect that has been overlooked so far is the role of the Galilean invariance breaking. We find that, although the differential equation that needs to be solved to find time evolution of the system is substantially more complicated, in some cases exact analytic solutions can be given. We obtain them for the linear ramp in the limit of small $J_z$ as well as $J_z ightarrow 1$, and for such protocols that are tailored to keep the Galilean invariance breaking term constant for every $J_z$. We point out the features of dynamics during the quench that stays unaltered, and those that need to be taken with care when Galilean invariance breaking is present. We are able to deduce that it is the shape of the propagating front that is affected in the most pronounced way.

研究の動機と目的

• ギャップなしのトモナガ＝ラッティンガー液体相におけるXXZスピン鎖の緩やかなクエンチダイナミクスにおけるギャリレオ不変性の破れの役割を調査すること。
• 特に $J_z$ が小さい場合および $J_z \to 1$ の極限において、線形および特化したクエンチプロトコル下での時間に依存するTLLパラメータに対する正確な解析的解を導出すること。
• ギャリレオ不変性が破れる状況において、どの動的特徴が頑健であり、どの特徴が注意深く取り扱う必要があるかを特定すること。
• 特に反強磁性的ヘイゼンベルグ点付近で、摂動的g-オロジーと数値結果の間で生じる前線ダイナミクスに関する不一致の原因を明確にすること。

提案手法

• 時間に依存するトモナガ＝ラッティンガー液体ハミルトニアンを定式化し、$u(t)$ と $K(t)$ を時間に依存する速度およびラッティンジャー・パラメータとして扱う。
• 非断熱的およびギャリレオ不変性の破れ項を含む、系の相関関数の時間発展を記述する微分方程式を導出する。
• ベッセル関数と時間に依存する位相因子を用いて、線形ラムプおよびギャリレオ不変性の破れ項を一定に保つプロトコルに対して、系を正確に解く。
• 運動量空間における積分を用いて相関関数 $\langle\theta(x,t)\theta(0,t)\rangle$ を評価し、$|F(t)|^2$ と $\pm1/3$ 階のベッセル関数を含む。
• 積分に対する漸近的解析を実施し、単調なおよび振動するベッセル関数の領域を分離して、フロントダイナミクスを特定する。
• 不完全なガンマ関数 $\Gamma(1-a, z_0)$ を用いてフロント形状を解析的に記述し、$z_0 = 2i q(vt - x)$ とし、中間領域における伸びた指数関数的挙動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギャリレオ不変性の破れは、XXZスピン鎖の緩やかなクエンチにおける伝播するフロントの形状にどのように影響を与えるか？
• RQ2 線形および特化したクエンチプロトコル下での時間に依存するTLLパラメータに対して、正確な解析的解を導出できるか？
• RQ3 なぜ数値シミュレーションと摂動的g-オロジーの手法は、特に $J_z$ が大きい領域で前線ダイナミクスに関して不一致を示すのか？
• RQ4 ギャリレオ不変性が破れる場合、相関関数のフロント領域の関数的形はどのように表されるか？
• RQ5 ベッセル関数のインデックスに応じて、相関関数の挙動の指数がどのように変化するか、そしてこれはフロントの形態にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 伝播するフロントの形状は、ギャリレオ不変性の破れによって最も顕著に変化し、光円錐内では標準的なべき乗則の挙動から逸脱する。
• $J_z$ が小さい場合および $J_z \to 1$ の極限において、線形ラムプに対して、ベッセル関数と時間に依存する位相因子を用いた正確な解析的解が導出された。
• フロントダイナミクスは不完全なガンマ関数 $\Gamma(2/3, z_0)$ によって支配され、中間領域では伸びた指数関数的挙動 $I_{\text{fro}}(x,t) \sim \exp[x^{1/3}]$ を示す。
• 一般のベッセル関数インデックスに対しては、フロント形状は $I_{\text{fro}}(x,t) \sim \exp[x^a]$ と表され、$a = 1 - 2\nu_3$ となる。$\nu_3$ が小さくなるほど、伸びた指数関数的領域の振幅が増加することが示された。
• 積分の上端項は、$vt - x$ が大きい領域で $\sim \log(x)$ の対数的項を寄与させ、アディアバティックなべき乗則領域と一致する。一方、下端項が $vt - x$ が小さい領域を支配し、伸びた指数関数的挙動を生じる。
• $a = 1/2$ の場合、結果はフレネル積分を用いて再表現可能であり、フロントダイナミクスにおける既知の特殊関数形と整合性を確認できる。