[論文レビュー] Small extended formulation for knapsack cover inequalities from monotone circuits

Abbas Bazzi, Samuel Fiorini+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、任意の ε > 0 に対して整数性ギャップが最大 2 + ε である quasi-polynomial サイズの線形計画（LP）緩和を、ファンインが 2 の O(log²n)-深さの単調回路を用いて構築する。この構成は、拡張形式と単調回路複雑性の間の関係を活用し、このクラスの不等式に対して、定数の整数性ギャップを保つ最初の超指数的サイズでない緩和を提供する。

ABSTRACT

Initially developed for the min-knapsack problem, the knapsack cover inequalities are used in the current best relaxations for numerous combinatorial optimization problems of covering type. In spite of their widespread use, these inequalities yield linear programming (LP) relaxations of exponential size, over which it is not known how to optimize exactly in polynomial time. In this paper we address this issue and obtain LP relaxations of quasi-polynomial size that are at least as strong as that given by the knapsack cover inequalities.For the min-knapsack cover problem, our main result can be stated formally as follows: for any e > 0, there is a (1/e)O(1)nO(log n)-size LP relaxation with an integrality gap of at most 2 + e, where n is the number of items. Prior to this work, there was no known relaxation of subexponential size with a constant upper bound on the integrality gap.Our construction is inspired by a connection between extended formulations and monotone circuit complexity via Karchmer-Wigderson games. In particular, our LP is based on O(log2n)-depth monotone circuits with fan-in 2 for evaluating weighted threshold functions with n inputs, as constructed by Beimel and Weinreb. We believe that a further understanding of this connection may lead to more positive results complementing the numerous lower bounds recently proved for extended formulations.

研究の動機と目的

• ナップサック被覆不等式のための多項式時間で解ける、小さな LP 緩和が現在は存在しないことへの対処。これにより、指数的サイズの定式化が生じる。
• 既存の定式化の制限を克服し、定数の整数性ギャップを保ちつつ、超指数的サイズの LP 緩和を構築すること。
• 組合せ最適化における拡張形式と単調回路複雑性の間の構成的関係を確立すること。
• 強い LP バウンディングを維持しながら、指数的サイズのナップサック被覆緩和のスケーラブルな代替手段を提供すること。
• 単調回路構成が、効率的な拡張形式の設計にどのように役立つかを調査すること。

提案手法

• Beimel と Weinreb が構築したように、n 個の入力に対して重み付きしきい値関数を計算する、ファンインが 2 の O(log²n)-深さの単調回路を用いる。
• 単調回路複雑性と拡張形式の間の関係を明確化するために、Karchmer-Wigderson ゲームを適用する。
• LP 緩和は回路構造から導出され、回路の深さとファンイン制約を不等式の有効性に反映させる。
• 定式化は、すべてのナップサック被覆不等式を捉えるように設計されており、(1/ε)^O(1) · n^O(log n) の quasi-polynomial サイズを維持する。
• 構成により、任意の ε > 0 に対して整数性ギャップが 2 + ε で有界であることが保証され、既知の最良理論的境界と一致する。
• 同じ回路ベースの不等式符号化を活用することで、他の被覆問題へ一般化可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数の整数性ギャップを保ちつつ、ナップサック被覆不等式のための超指数的サイズの LP 緩和を構築できるか？
• RQ2 単調回路複雑性を、コンパクトな拡張形式に体系的に翻訳する方法はあるか？
• RQ3 quasi-polynomial 定式化を用いて、ナップサック被覆緩和の整数性ギャップを定数に抑えられるか？
• RQ4 ナップサック被覆不等式の重み付きしきい値関数を表現するための最小の回路深さとファンインは何か？
• RQ5 Karchmer-Wigderson ゲームフレームワークは、小さな拡張形式の新規構成を可能にするか？

主な発見

• 本稿は、整数性ギャップが最大 2 + ε である min-knapsack cover 問題のための LP 緩和を、サイズ (1/ε)^O(1) · n^O(log n) で構築した。
• これは、ナップサック被覆不等式に対して、超指数的サイズで定数の整数性ギャップを有する最初の既知の緩和である。
• 構成は、Beimel と Weinreb の結果に基づき、重み付きしきい値関数のための O(log²n)-深さの単調回路（ファンイン 2）に依存している。
• 本手法は、Karchmer-Wigderson ゲームを通じて、単調回路複雑性と拡張形式の間の新しい橋渡しを確立した。
• 強い理論的保証を維持しながら、指数的サイズの緩和のスケーラブルな代替手段を提供した。
• 回路複雑性に基づく定式化のより深い理解が、拡張形式設計におけるさらなる進展をもたらす可能性がある。