[論文レビュー] Small-gain theorem for stability, cooperative control and distributed observation of infinite networks

Navid Noroozi, Andrii Mironchenko+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2020

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、無限大の非線形システムネットワークに対して計算的に扱いやすい小利得定理を提示し、閉集合に関する指数的入出力安定性を可能にする。ゲイン作用素のスペクトル半径を活用することで、効率的な数値計算を介して、無限大ネットワークにおける安定性、一様性、分散型観測者設計を保証する。

ABSTRACT

Motivated by a paradigm shift towards a hyper-connected world, we develop a computationally tractable small-gain theorem for a network of infinitely many systems, termed as infinite networks. The proposed small-gain theorem addresses exponential input-to-state stability with respect to closed sets, which enables us to analyze diverse stability problems in a unified manner. The small-gain condition, expressed in terms of the spectral radius of a gain operator collecting all the information about the internal Lyapunov gains, can be numerically computed for a large class of systems in an efficient way. To demonstrate broad applicability of our small-gain theorem, we apply it to the stability analysis of infinite time-varying networks, to consensus in infinite-agent systems, as well as to the design of distributed observers for infinite networks.

研究の動機と目的

• スマートグリッドやIoTネットワークなどの大規模かつハイパーコネクテッドなシステムにおけるスケーラブルな安定性解析ツールの不足に対処する。
• 既存の小利得定理を有限ネットワークから無限大ネットワークへ拡張し、特に非線形的で時変的かつ空間不変でないシステムに対応する。
• 時間変動的ネットワークの安定性、無限エージェント系における一様性、分散型状態推定といった多様な制御問題の分析を、統一的な枠組みで統合する。
• ゲイン作用素のスペクトル半径に基づく数値的に効率的な条件を構築し、空間不変性や線形性といった制限的仮定を必要とせずに安定性を検証可能にする。

提案手法

• すべてのサブシステムの集合的状態を捉えるために、Banach空間 $\ell^p(\mathbb{N}, (n_i))$（$p \in [1, \infty)$）における無限大ネットワークを定式化する。
• 真の状態 $ x $ と局所観測者からの推定状態 $ \hat{x} $ を持つ状態 $ (x, \hat{x}) \in X \times X $ の合成系を定義する。
• 誤差ダイナミクスを分析するために、$ \mu_i \in \ell^\infty $ を用いて $ V(x, \hat{x}) = \sum_{i=1}^\infty \mu_i V_i(x_i, \hat{x}_i) $ と定義されるリャプノフ関数を導入する。
• 各サブシステムの誤差伝播をモデル化するため、$ \mathrm{D}^+ V_i \leq -\lambda_i V_i + \sum_{j \in I_i} \gamma_{ij} V_j $ のような散逸的推定を導出する。
• 相互接続ゲイン $ \gamma_{ij} $ を符号化するゲイン作用素 $ \Psi $ を構築し、$ r(\Psi) < 1 $ を要求することで、グローバル指数的安定性を保証する。
• 順序付きBanach空間における正の作用素のスペクトル理論を用いて、小利得条件が必要かつ数値的に検証可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形的無限大ネットワークに対して、既存の結果を線形的および空間不変でないシステムにまで一般化できる小利得定理を開発できるか？
• RQ2 空間不変性や線形性が成り立たない状況においても、閉集合に関する指数的入出力安定性を無限大ネットワークに対して確立できるか？
• RQ3 ゲイン作用素のスペクトル半径が、無限大ネットワークにおける安定性の検証に数値的に効率的な条件として機能できるか？
• RQ4 この枠組みは、時間変動的ネットワーク安定性、無限エージェント系における一様性、分散型観測者設計の分析をどの程度統合できるか？

主な発見

• ゲイン作用素 $ \Psi $ から導出される小利得条件 $ r(\Psi) < 1 $ が、集合 $ \mathcal{A} = \{ (x, \hat{x}) : x = \hat{x} \} $ に関する指数的入出力安定性を保証する。
• 合成系 (39) は、$ \mu_i \in \ell^\infty $ を満たすリャプノフ関数 $ V(x, \hat{x}) = \sum_{i=1}^\infty \mu_i V_i(x_i, \hat{x}_i) $ を有し、誤差ダイナミクスのグローバル指数的安定性を保証する。
• 誤差ダイナミクスは、ある $ \beta \in \mathcal{KL} $ を用いて $ |\phi(t,x) - \hat{\phi}(t,\hat{x})|_p \leq \beta(|x - \hat{x}|_p, t) $ を満たし、ロバストな分散型観測者機能を証明する。
• 時間変動的無限大ネットワークに対しても本手法が適用可能であり、同じスペクトル半径条件のもとで原点における安定性を保証する。
• 無限エージェントの一様性において、適切なゲイン行列を用いて $ r(\Psi) < 1 $ を満たすことで、重み付き平均の一様性が保証される。
• 本手法は計算的に効率的であり、全システムのシミュレーションを必要とせず、多くのシステムクラスに対して $ \Psi $ のスペクトル半径を数値的に計算可能である。