[論文レビュー] Small Instantons, Little Strings and Free Fermions

A. Losev, A. Marshakov+1 more|ArXiv.org|Feb 24, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 125

ひとこと要約

本稿は、$τ=2$ supersymmetric gauge theories が $τ^4$ に twisted boundary conditions を持つ場合と、sphere 上の free fermions の 2 次元 conformal field theory の間に双対性を確立する。$U(1)$ 理論におけるすべての chiral couplings を含む有効 prepotential が、$τΠ^1$ 上の topological string の free energy に等しいことを、Toda lattice hierarchy の tau 関数による partition function 表記を用いて証明する。

ABSTRACT

We present new evidence for the conjecture that BPS correlation functions in the N=2 supersymmetric gauge theories are described by an auxiliary two dimensional conformal field theory. We study deformations of the N=2 supersymmetric gauge theory by all gauge-invariant chiral operators. We calculate the partition function of the N=2 theory on R^4 with appropriately twisted boundary conditions. For the U(1) theory with instantons (either noncommutative, or D-instantons, depending on the construction) the partition function has a representation in terms of the theory of free fermions on a sphere, and coincides with the tau-function of the Toda lattice hierarchy. Using this result we prove to all orders in string loop expansion that the effective prepotential (for U(1) with all chiral couplings included) is given by the free energy of the topological string on CP^1. Gravitational descendants play an important role in the gauge fields/string correspondence. The dual string is identified with the little string bound to the fivebrane wrapped on the two-sphere. We also discuss the theory with fundamental matter hypermultiplets.

研究の動機と目的

• すべての gauge-invariant な chiral 演算子を含む $\mathcal{N}=2$ gauge theories における有効 prepotential の計算手法を拡張すること。
• BPS 相関関数における $\mathcal{N}=2$ gauge theories と 2 次元 conformal field theory の間の対応関係を確立すること。
• $U(1)$ 理論における instantons（非可換または D-instantons）の partition function が、Toda lattice hierarchy の tau 関数に等しいことを示すこと。
• string loop 展開のすべての位で、すべての chiral couplings を含む有効 prepotential が $\mathbb{CP}^1$ 上の topological string の free energy に一致することを証明すること。
• 双対ストリングが、2 次元球面上にラップされた fivebrane に束縛された little string であることを特定し、重力的後代数が中心的役割を果たすことを明らかにすること。

提案手法

• $H$ 内の global symmetry 群における Lorentz 回転と Wilson 線を伴う、円に沿った一般化された Scheck-Schwarz compactification を用いて、$\mathbb{R}^4$ 上の $\mathcal{N}=2$ gauge theory を twisted boundary conditions で構築する。
• $U(1)$ 理論における instantons の partition function を導出し、それが sphere 上の free fermions による表現を許容することを示す。
• partition function を Toda lattice hierarchy の tau 関数として特定し、正確な非摂動的計算を可能にする。
• fermionic 表記を用いて有効 prepotential を計算し、それが $\mathbb{CP}^1$ 上の topological string の genus $g$ free energy に一致することを示す。
• $Q$-不変な Lie 代数値場の積分に等化された局所化技術を適用し、$\overline{\phi}, \phi, \eta$ および $\kappa$-変形パrameter に依存する。
• $\mathcal{Y}$ 上のベクトル束 $\mathcal{V}$ に metric 変形を導入し、$t \to 0$ の極限で形式がセクション $s$ の零点集合に局在化することを示し、固定点における局在化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての chiral couplings を含む $\mathcal{N}=2$ $U(1)$ gauge theory の有効 prepotential を非摂動的に計算できるか？
• RQ2 $\mathcal{N}=2$ gauge theories における BPS 相関関数と双対となる 2 次元 CFT は存在するか？
• RQ3 $U(1)$ 理論における instantons の partition function は、Toda lattice hierarchy の tau 関数と一致するか？
• RQ4 string loop 展開のすべての位で、有効 prepotential は $\mathbb{CP}^1$ 上の topological string の free energy と同一視できるか？
• RQ5 重力的後代数の役割と双対ストリングの性質は、ゲージ理論／ストリング理論双対性においてどのように関与するか？

主な発見

• $U(1)$ $\mathcal{N}=2$ gauge theory における instantons の partition function が、Toda lattice hierarchy の tau 関数によって正確に表現されること。
• すべての chiral couplings $\tau_{\vec{n}}$ を含む有効 prepotential が、string loop 展開のすべての位で $\mathbb{CP}^1$ 上の topological string の free energy に等しいことが示された。
• 双対ストリングは、2 次元球面上にラップされた fivebrane に束縛された little string として特定され、重力的後代数が中心的役割を果たす。
• partition function は sphere 上の free fermion 表記を介して導出され、ゲージ理論の経路積分の非摂動的実現を提供する。
• $Q$-不変形式と $\kappa$-変形測度を用いた $\mathcal{Y}$ 上の等化局所化により、partition function の固定点公式が得られた。
• $\mathcal{V}$ 上の metric 変形の $t \to 0$ の極限において、$Q$-不変形式がセクション $s$ の零点集合に局在化し、この文脈における局在化原理が確認された。