[論文レビュー] Smallest singular value and limit eigenvalue distribution of a class of non-Hermitian random matrices with statistical application

Arup Bose, Walid Hachem|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 43被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、i.i.d. で分散が $1/n$ で、4次モーメントが有限である要素を持つ行列 $X$ と、有界な特異値をもつ決定的行列 $A$ を用いた非エルミート確率行列 $XAX^* - z$ の最小特異値に対する漸近的境界を確立する。ブロック行列 $H^{(n)}$ を用いた線形化により、最小特異値が高確率でゼロから離れていることが証明され、これにより $XJX^*$ の極限スペクトル分布が導出可能となる。この結果を応用して、1ステップの標本自己共分散行列に基づく多変量時系列のホワイトネス検定を提案する。

ABSTRACT

Suppose $X$ is an $N \ imes n$ complex matrix whose entries are centered, independent, and identically distributed random variables with variance $1/n$ and whose fourth moment is of order ${\\mathcal O}(n^{-2})$. In the first part of the paper, we consider the non-Hermitian matrix $X A X^* - z$, where $A$ is a deterministic matrix whose smallest and largest singular values are bounded below and above respectively, and $z\ eq 0$ is a complex number. Asymptotic probability bounds for the smallest singular value of this model are obtained in the large dimensional regime where $N$ and $n$ diverge to infinity at the same rate. In the second part of the paper, we consider the special case where $A = J = [1_{i-j = 1\\mod n} ]$ is a circulant matrix. Using the result of the first part, it is shown that the limit eigenvalue distribution of $X J X^*$ exists in the large dimensional regime, and we determine this limit explicitly. A statistical application of this result devoted towards testing the presence of correlations within a multivariate time series is considered. Assuming that $X$ represents a ${\\mathbb C}^N$-valued time series which is observed over a time window of length $n$, the matrix $X J X^*$ represents the one-step sample autocovariance matrix of this time series. Guided by the result on the limit spectral measure of this matrix, a whiteness test against an MA correlation model on the time series is introduced. Numerical simulations show the excellent performance of this test.

研究の動機と目的

• 大次元的状況 $N/n \to \gamma \in (0, \infty)$ において、$X^{(n)}A^{(n)}{X^{(n)}}^{*} - zI_N$ の最小特異値に対する高確率的境界を確立すること。
• 同じ漸近的状況下で、$X^{(n)}J^{(n)}{X^{(n)}}^{*}$ の極限スペクトル分布を分析すること。
• 1ステップの標本自己共分散行列 $XJX^*$ の極限スペクトル分布を用いて、多変量時系列におけるホワイトネスのための統計的検定を開発すること。
• 特に、$X$ の要素が実数でない場合（仮定3）を含め、非i.i.i.d. だが構造的な依存性がある場合でも理論枠組みが頑健であることを保証すること。

提案手法

• 行列 $X^{(n)}A^{(n)}{X^{(n)}}^{*} - zI_N$ をブロック行列 $H^{(n)} = \begin{bmatrix} (A^{(n)})^{-1} & X^{(n)\top} \\ X^{(n)} & z \end{bmatrix}$ を用いて線形化し、問題を $H^{(n)}$ の最小特異値の評価に還元する。
• 行列の逆行列公式を適用して、$\|(X^{(n)}A^{(n)}{X^{(n)}}^{*} - zI_N)^{-1}\|$ を $\|H^{(n)}{-1}\|$ に結びつけることで、元の行列の最小特異値の制御を可能にする。
• 複素ガウス型濃度不等式とPoincaré-Nash不等式を用い、リゾルベントの線形スペクトル統計量の分散を抑え、トレース型汎関数の測度濃縮を保証する。
• $\mathbb{E}[\|X\|] \leq C$ が高確率で成り立つことを示し、これにより特異値の境界をスペクトルノルムに条件づける。
• $\mathbb{P}[s_{N-1}(X^{(n)}A^{(n)}{X^{(n)}}^{*} - z) \leq t, \|X\| \leq C] \leq c(n^{\alpha}t^{1/2} + n^{-\beta})$ を、ある $\alpha, \beta > 0$ に対して導出。これにより、最小特異値が小さくなりすぎる確率が小さいことが示される。
• 極限スペクトル分布の結果を用いて、$XJX^*$ の標本固有値分布に基づく検定統計量を定義。理論的極限分布と比較することで、多変量時系列における相関の有無を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X$ が i.i.d. で分散 $1/n$ かつ有限な4次モーメントを持つとき、$X^{(n)}A^{(n)}{X^{(n)}}^{*} - zI_N$ の最小特異値に対する漸近的確率的境界は何か？
• RQ2 $N/n \to \gamma \in (0, \infty)$ の大次元的状況において、$X^{(n)}J^{(n)}{X^{(n)}}^{*}$ の極限スペクトル分布は存在するか？ その場合、明示的な形は何か？
• RQ3 $XJX^*$ の極限スペクトル分布を用いて、多変量時系列における系列相関を検出する統計的検定を構築できるか？
• RQ4 仮定3（$x_{00}^{(n)}$ が実数でない）が、最小特異値の挙動および得られるスペクトル極限に与える影響は何か？
• RQ5 $XJX^*$ の標本スペクトル分布の収束速度は何か？ また、これにより提案されたホワイトネス検定の検出力にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 最小特異値が高確率でゼロから離れている：$\mathbb{P}[s_{N-1}(X^{(n)}A^{(n)}{X^{(n)}}^{*} - z) \leq t, \|X\| \leq C] \leq c(n^{\alpha}t^{1/2} + n^{-\beta})$（$\alpha, \beta > 0$）。ここで $c$ は $C$、$z$、および4次モーメントの上限 $\boldsymbol{m}_4$ のみに依存する。
• $X^{(n)}J^{(n)}{X^{(n)}}^{*}$ の極限スペクトル分布は存在し、大次元的状況 $N/n \to \gamma \in (0, \infty)$ において明示的に特徴づけられる。極限分布は決定的測度であり、$J^{(n)}$ の巡回構造に依存する。
• $XJX^*$ の標本固有値分布（多変量時系列の1ステップ標本自己共分散行列を表す）は、ホワイトネスの帰無仮説下で弱収束して、導出された極限分布に一致する。
• $XJX^*$ の標本スペクトル分布と理論的極限分布を比較する新しいホワイトネス検定を提案。数値シミュレーションにより、高い検出力と頑健性が確認された。
• 線形スペクトル統計量 $n^{-1}\operatorname{tr}Q_{00}$ および $x_k^*Q_{00}x_\ell$ の分散がそれぞれ $\mathcal{O}_\eta(n^{-2})$ および $\mathcal{O}_\eta(n^{-1})$ であることが示され、スペクトル統計量の濃縮性と安定性が保証された。
• 線形化と測度濃縮に基づく証明手法は、$X$ に構造的な依存性がある場合にも頑健であり、i.i.d. モデルを越えて適用可能である。特に、非実数値の仮定（仮定3）により、実数i.i.i.d. 行列への退化を防ぐことができる。