[論文レビュー] Smash biproducts of algebras and coalgebras

S. Caenepeel, Bogdan Ion+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、代数 L と余代数 H に対して、二つの写像 R と W を用いて一般化されたスマッシュ双積構成 K = L ⋈_R^W H を導入し、K が双代数をなすための必要十分条件を提供する。この構成は、Majid や Radford による以前の研究を統一・拡張し、最近の指向的ホップ代数も特別な場合として含む。

ABSTRACT

Let L and H be algebras and coalgebras (but not necessarily bialgebras, and consider two maps R: H ⊗ L → L ⊗H and W: L ⊗ H → H ⊗L. We introduce a product K = L W⊲⊳R H, and we give necessary and sufficient conditions for K to be a bialgebra. Our construction generalizes products introduced by Majid [13] and Radford [20]. Also some of the pointed Hopf algebras that were recently constructed by Beattie, Dǎscǎlescu and Grünenfelder [2] appear as special cases. 0

研究の動機と目的

• 双代数の仮定を越えて、代数と余代数のためのスマッシュ積構成を一般化すること。
• 構成された積が双代数となるための正確な必要十分条件を同定すること。
• Majid や Radford による既存の構成を、一つの枠組み内で統一・拡張すること。
• Beattie, Dǎscǎlescu, Grünenfelder が最近提示した指向的ホップ代数が、提案された構成の特別な場合として生じることを示すこと。

提案手法

• 写像 R: H⊗L → L⊗H と W: L⊗H → H⊗L を用いて、K = L ⋈_R^W H という積を導入する。
• K 上の代数的および余代数的構造を分析し、双代数の整合性を検討する。
• K 上の余乗法と乗法の整合性を保証する R と W に関する条件を導出する。
• Majid や Radford および Beattie らの既知の例を回復するためにこの構成を適用する。
• 圏論的および代数的技法を用いて、導出された条件下で双代数公理が満たされることを検証する。
• この構成が以前のスマッシュ積の変種をすべて包含することを示し、その一般性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L と H が必ずしも双代数でない場合、一般化された積 K = L ⋈_R^W H が双代数となる条件は何か？
• RQ2 スマッシュ双積構成を標準的な双代数の設定を超えてどのように拡張できるか？
• RQ3 写像 R と W が結果として得られる積の双代数構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 この構成によって、Majid や Radford の既存のスマッシュ積構成が統一可能か？
• RQ5 Beattie, Dǎscǎlescu, Grünenfelder が最近提示した指向的ホップ代数は、この一般化された枠組みの特別な場合として生じるか？

主な発見

• 本稿は、積 K = L ⋈_R^W H が双代数となるための R と W に関する必要十分条件を確立した。
• この構成は、L と H が双代数でなくてもよいという条件を緩和することで、Majid や Radford のスマッシュ積を一般化する。
• この枠組みは、Beattie, Dǎscǎlescu, Grünenfelder の指向的ホップ代数を特別な場合として含む。
• 写像 R と W は、K 内の代数的構造と余代数的構造の間の相互作用を媒介する二重の役割を果たす。
• 得られる双代数 K は、R と W の相互作用を通じて、L と H からその代数的および余代数的構造を引き継ぐ。
• この手法により、R と W を用いて非双代数の入力から新しい双代数を体系的に構成する方法が提供される。