[論文レビュー] Smile Asymptotics II: Models with Known Moment Generating Function

Shalom Benaim, Peter K. Friz|ArXiv.org|Aug 24, 2006

advanced mathematical theories参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、タウバー型定理を用いて、金融リターンモデルのモーメント生成関数（MGF）に対する十分条件を確立し、ブラック・ショールズのインプライド・ボラティリティ・スプレッドの対数ストライク関数としての極限スロープの存在を保証する。時間変換付きレヴィ過程モデルおよびヘストンモデルにおいて、リターンの裾の挙動――特に生存関数の指数的減衰――が、インプライド・ボラティリティ・スメールの明確な漸近的スロープを生じることを示し、スメール漸近論における重要な問題を、厳密な解析的保証とともに解消する。

ABSTRACT

In a recent article the authors obtained a formula which relates explicitly the tail of risk neutral returns with the wing behavior of the Black Scholes implied volatility smile. In situations where precise tail asymptotics are unknown but a moment generating function is available we first establish, under easy-to-check conditions, tail asymptoics on logarithmic scale as soft applications of standard Tauberian theorems. Such asymptotics are enough to make the tail-wing formula work and we so obtain a version of Lee's moment formula with the novel guarantee that there is indeed a limiting slope when plotting implied variance against log-strike. We apply these results to time-changed Levy models and the Heston model. In particular, the term-structure of the wings can be analytically understood.

研究の動機と目的

• 尾部分布が未知であっても、インプライド・ボラティリティ・スメールの翼部において明確な極限スロープを示すための厳密な条件を提供すること。
• モーメント生成関数（MGF）の性質と尾部漸近論の間のギャップを埋め、インプライド・バリアンスの尾部・翼公式の適用可能性を保証すること。
• リーのモーメント公式を、lim sup を真の極限に置き換えることで拡張し、MGF の定義域境界付近での挙動を用いて行う。
• バリエンス・ギャンマとガンマ-OU時間変換、NIGとCIR時間変換、ヘストンの確率的ボラティリティ・モデルといった代表的なモデルに対して、これらの条件を明示的に検証すること。
• 数値的に、理論的結果の実用的関連性を裏付けるために、漸近的状態が低対数ストライクでどの程度早く現れるかを示すこと。

提案手法

• MGF が定義域境界付近でどのように振る舞うかに着目し、標準的なタウバー型定理を適用して、対数スケール上での尾部漸近論を導出する。
• 尾部生存確率が指数的に減少すること、すなわち $-\log \bar{F}(x) \sim r^* x$ となるように保証するための、MGF の解析的構造に関する2つの基準（基準Iおよび基準II）を導入する。
• 一般化逆関数および滑らかな変動理論を用いて、MGF 及びその逆関数の漸近的挙動を分析し、尾部減少の正則性を保証する。
• 尾部・翼公式を適用し、インプライド・バリアンスのスロープを尾部減少率に関連付ける。これにより、MGF の性質をインプライド・ボラティリティ・スロープの予測に変換する。
• 時間変換過程の累積モーメント生成関数（CGF）を用い、その解析接続を分析することで、NIG-CIRおよびVG-Gamma-OUモデルの基準の検証を行う。
• ヘストンモデルでは、確率的ボラティリティ下での対数リターンの同時MGFを分析し、統合ボラティリティのCIR過程および漂移付き Browm運動を用いて基準を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーメント生成関数（MGF）にどのような条件下で、インプライド・バリアンスが対数ストライク関数として明確な極限スロープを示すか？
• RQ2 MGF の情報のみを用いて、尾部・翼公式が真の極限（lim sup ではなく）をもたらす保証は可能か？
• RQ3 ガンマ-OUクロックを用いたバリエンス・ギャンマやCIRクロックを用いたNIGといった時間変換付きレヴィ過程モデルが、指数的尾部減少に必要なMGF条件を満たすか？
• RQ4 ヘストンモデルにおいて、インプライド・ボラティリティ・ウイングスロープは定数に収束するか？ また、MGF 構造から解析的に導出可能か？
• RQ5 実際の市場では、インプライド・ボラティリティ・スメールの漸近的状態はどの程度早く現れるか？ 特に低対数ストライクにおいては。

主な発見

• MGF が既知で $p^* = r^* - 1 > 0$ であるモデルでは、インプライド・バリアンスのスロープが定数に収束する： $\lim_{k\to\infty} V^2(k)/k = 2 - 4(\sqrt{(p^*)^2 + p^*} - p^*)$。
• 本稿は、MGF の定義域境界付近での緩い条件のもとで、尾部・翼公式が真の極限（lim sup ではなく）をもたらすことを証明している。具体的には、MGF が基準Iまたは基準IIを満たす場合に該当する。
• ガンマ-OU時間変換を施したバリエンス・ギャンマモデルでは、尾部減少率 $p_L = \alpha - \beta$ で指数的減少が成立し、インプライド・ボラティリティ・スメールにおける明確な極限スロープが保証される。
• NIG-CIRモデルでは、尾部減少率は $\min(p_L, p)$ であり、ここで $p$ は $K_L(p) = p_T$ を満たす。この条件は満たされており、したがって極限スロープは存在する。
• ヘストンモデルでは、相関 $\rho \neq 0$ であっても、MGF は必要な解析性および成長条件（基準II）を満たしており、$-\log \bar{F}(x) \sim -p x$ となる臨界 $p$ が、超越方程式によって定まる。
• 数値的結果により、漸近的スロープが極めて低い対数ストライク（例：$k \approx 1$）で顕在することが示され、理論的結果の実用的関連性が裏付けられた。