[論文レビュー] Smooth Cyclically Monotone Interpolation and Empirical Center-Outward Distribution Functions

Eustasio del Barrio, Juan Cuesta Albertos+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Mathematical functions and polynomials被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ℝᵈ 内の有限点群のペアを連続写像に拡張する滑らかでリプシッツ連続的かつ循環的単調な補間法を提案する。この解法により、多変量設定下で滑らかで中心から外向きに連続的な経験的分布関数が得られ、リプシッツ定数の鋭い下界とグリヴェンコ＝カンテリ型収束性が保証される。

ABSTRACT

We consider the smooth interpolation problem under cyclical monotonicity constraint. More precisely, consider finite n-tuples X =fx1; xng and Y = fy1; yng of points in Rd, and assume the existence of a unique bijection T :X !Y such that f(x; T(x)): x 2 Xg is cyclically monotone: our goal is to define continuous, cyclically mono-tone maps T :Rd !Rd such that T(xi) = yi, i = 1; n, extending a classical result by Rockafellar on the sub differentials of convex functions. Our solutions T are Lipschitz, and we provide a sharp lower bound for the corresponding Lipschitz constants. The problem is motivated by, and the solution naturally applies to, the concept of empirical center-outwarddistribution function in Rd developed in Hallin (2018). Those empirical distribution functions indeed are de_ned at the observations only. Our interpolation provides a smooth extension, as well as a multivariate, outward-continuous, jump function version thereof (the latter naturally generalizes the traditional left-continuous univariate concept); both satisfy a Glivenko-Cantelli property as n !1.

研究の動機と目的

• ℝᵈ 内の有限点群のペアを、元のペアリングを保ったまま連続的かつ循環的単調な写像に拡張すること。
• 多変量設定下で、経験的中心から外向きの分布関数の滑らかでリプシッツ連続的な一般化を提供すること。
• このような補間のリプシッツ定数に対する鋭い下界を確立すること。
• 補間された写像が標本サイズ n が増加する際にグリヴェンコ＝カンテリ性質を満たすように保証すること。
• 単変量の左連続分布関数を、多変量かつ外向き連続な枠組みに一般化すること。

提案手法

• すべての i = 1, ..., n に対して T(xi) = yi を満たす連続的かつ循環的単調な写像 T: ℝᵈ → ℝᵈ を構築すること。
• 写像 T がリプシッツ連続であることを保証し、そのリプシッツ定数の鋭い下界を導出すること。
• ロッカフェラーの定理を介した凸関数の劣微分理論を活用して補間を構築すること。
• データ点でのみ定義される経験的中心から外向きの分布関数を、補間を介して滑らかに拡張すること。
• 単変量の左連続概念を多変量かつ外向き連続な設定に一般化したジャンプ関数版の経験的分布関数を導入すること。
• 滑らか版およびジャンプ関数版の両方が、n → ∞ の際にグリヴェンコ＝カンテリ性質を満たすことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにすれば、元のペアリングを保ったまま ℝᵈ 内の有限点群のペアに対して滑らかで循環的単調な拡張を構築できるか？
• RQ2 このような補間の最小可能なリプシッツ定数は何か？ また、それを鋭く評価できるか？
• RQ3 データ点でのみ定義される経験的中心から外向きの分布関数を、多変量設定下で滑らかに連続写像に拡張できるか？
• RQ4 提案された補間は、凸関数の劣微分理論とどのように関係するか？
• RQ5 得られる滑らか版およびジャンプ関数版の経験的分布関数の拡張は、グリヴェンコ＝カンテリ型収束性を満たすか？

主な発見

• 各 xi を yi に写像する一意的で連続的かつ循環的単調な補間 T: ℝᵈ → ℝᵈ が存在する。この補間は元のペアリングの循環的単調性を保つ。
• 補間はリプシッツ連続的であり、リプシッツ定数の鋭い下界がデータ点の幾何的性質から導出される。
• 滑らかな補間は、単変量の経験的分布関数を多変量かつ外向き連続的でジャンプ関数型に一般化する。
• 経験的中心から外向きの分布関数の滑らか版およびジャンプ関数版の両方とも、n → ∞ の際にグリヴェンコ＝カンテリ性質を満たす。
• 本手法は、ハラー（2018）の経験的中心から外向きの分布関数の概念を、全空間 ℝᵈ に自然に連続的に拡張する。
• 本解法は、凸関数の劣微分に関する古典的結果を、循環的単調性制約を伴う有限点補間の文脈に拡張する。