[논문 리뷰] Smooth duality and co-contra correspondence

Leonid Positselski|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 15.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 자연적 특성 $p$에서 $p$-진 리군에 대해 부드러운 이중성 함자(duality functor)를 수립하며, 적응 가능(cohomology)을 갖는 부드러운 $G$-모듈의 유계 유도 범주에 대해 삼각형 이중성(duality)을 구성한다. 공-대응(co-contra correspondence)과 유도 함자를 사용하여, 유한성 가정 없이 부드러운 표현의 이중을 복합체의 부드러운 모듈로 올리며, 이는 유도 범주에서 자가-이중성(self-dual)의 구조를 제공한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to explain how to get a complex of smooth representations out of the dual vector space to a smooth representation of a p-adic Lie group, in natural characteristic. The construction does not depend on any finiteness/admissibility assumptions. Imposing such an assumption, one obtains an involutive duality on the derived category of complexes of smooth modules with admissible cohomology modules. The paper can serve as an introduction to the results about representations of locally profinite groups contained in the author's monograph on semi-infinite homological algebra arXiv:0708.3398.

연구 동기 및 목표

• 부드러운 $G$-모듈의 이중에 대해, 적응 가능성 가정 없이도 복합체의 부드러운 $G$-모듈을 부여하는 자연스러운 이중성 함자를 수립하는 것.
• 적응 가능(cohomology)을 갖는 부드러운 $G$-모듈의 복합체 유도 범주에 대해 삼각형 이중성(duality)을 수립하여, 고전적 이중성을 적응 가능한 모듈을 초월해 확장하는 것.
• 공-대응과 유도 함자를 사용하여 부드러운 표현의 기존 이중성 이론을 통합하고 일반화하는 것. 이는 $p$-진 리군의 맥락에서 수행된다.
• 부드러운 모듈의 유도 범주와 그 이중 간의 관계를 명확히 하며, 특히 자연적 특성 $p$의 맥락에서 분석하는 것.
• 유도 범주에서 부분몫 범주(subquotient categories)를 다룰 필요 없이, 별도의 각 차수에서의 Ext 계산에 의존하는 이전 접근 방식과는 달리, 유도 카테고리적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 공-대응(co-contra correspondence)을 사용하여 $G$-대응모듈에서 $G$-코모듈(부드러운 모듈)의 복합체로 가는 유도 함자 $\mathbb{L}\Phi_G$를 구성한다.
• 유도 코모듈-대응모듈 대응을 적용하여, 부드러운 $G$-모듈의 이중 공간 $\mathcal{M}^\vee$를 $\mathbb{L}\Phi_G(\mathcal{M}^\vee)$를 통해 복합체의 부드러운 $G$-모듈로 변환한다.
• 유도 이중성으로서 $\Delta_G$ 함자를 $\mathrm{dualization}$과 공-대응의 병합으로 정의하며, 이는 삼각형 반동등기(anti-equivalence)를 유도한다.
• 유도 범주에서 이중성이 삼중성(involutive)이고 잘 정의되도록, 코호몰로지 모듈에 대해 적응 가능성 조건을 도입한다.
• $k(G)$, 즉 $G$ 위의 컴팩트 지지 국소 상수 함수의 $\mathcal{C}$-반체계(semialgebra)의 구조를 이용하여, 부드러운 $G$-모듈을 ${\boldsymbol{\mathcal{S}}}$-반모듈로 모델링한다.
• 기본 함자 $\mathsf{D}(G{\operatorname{\mathsf{--smooth}}}_k) \to \mathsf{D}(H{\operatorname{\mathsf{--discr}}}_k)$의 보존 성질을 이용하여, $\Delta_G$ 가 적응 가능으로 표현된 부드러운 모듈의 유도 범주에서 삼중성 자가-반등기(auto-anti-equivalence)임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $p$-진 리군의 부드러운 표현에 대해, 적응 가능성 가정 없이도 유도 이중성을 구성할 수 있는가?
• RQ2 특성 $p$에서, 공-대응(co-contra correspondence)은 부드러운 모듈의 이중을 복합체의 부드러운 모듈로 올리는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 모듈 자체가 적응 가능하지 않더라도, 적응 가능 코호몰로지 모듈을 갖는 부드러운 $G$-모듈의 유도 범주에 대해 삼중성 이중성을 수립할 수 있는가?
• RQ4 이 논문에서 구성한 유도 이중성은 각 차수에서 Ext 군을 직접 다루는 Kohlhaase의 접근과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 왜 이 유도 이중성이 적응 가능으로 표현된 부드러운 $G$-모듈의 유도 범주로 제한되지 않으며, 그 장애 요인은 무엇인가?

주요 결과

• 함자 $\Delta_G$ 는 적응 가능 코호몰로지 모듈을 갖는 부드러운 $G$-모듈의 복합체 유도 범주 $\mathsf{D}^\mathsf{b}_{\mathsf{acp}}(G{\operatorname{\mathsf{--smooth}}}_k)$ 에서 삼중성 삼각형 반등기(anti-equivalence)를 제공한다.
• 공-대응과 유도 함자를 통한 $\Delta_G$ 의 구성은 원래 부드러운 표현에 대해 유한성 또는 적응 가능성 가정 없이도 성립한다.
• $k$가 특성 $p$인 체일 때, $p$-진 리군 $G$ 에 대해 유도 이중성 $\Delta_G$ 는 삼중성 자가-반등기이며, 고전적 이중성을 비적응 가능한 모듈로 일반화한다.
• 유도 범주 $\mathsf{D}^\mathsf{b}_{\mathsf{acp}}(G{\operatorname{\mathsf{--smooth}}}_k)$ 는 $\mathsf{D}^\mathsf{b}(G{\operatorname{\mathsf{--smooth}}}_{k,\mathsf{acp}})$ 보다 엄밀히 크며, 이 둘 사이의 자연스러운 함자는 동치가 아니다.
• 적응 가능으로 표현된 부드러운 모듈의 유도 범주로 이중성을 확장하는 데서의 장애 요인은, 알려진 $G$-대응모듈의 프로젝티브 해체가 대응가능한 모듈의 범주에 머무르지 않는 데 있다.
• 특성 0에서는 결과가 모든 국소 프로판프로파일리언(locally profinite) 군에 적용되며, 이는 그들이 국소 준대응-노에터이( quasi-contra-Noetherian) 이고 코homological dimension 0 이기 때문이다. 이로 인해 이중성이 이 맥락에서도 성립함을 보장한다.