[논문 리뷰] Smooth Fock bundles, and spinor bundles on loop space

Peter Kristel, Konrad Waldorf|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 린드스터 공간 위의 매끄러운 포크(bundle)를 구성하기 위한 엄밀한 프레임워크를 개발한다. 이는 고정된 힐버트 공간과 프레셰 구조를 이용한 것으로, 클리포드 대수군과 실현자 군의 매끄러운 작용을 가능하게 한다. 주요 기여는 린드스터 공간 위의 스피너(bundle)를 완전하고 매끄럽게 구성한 것으로, 라그랑주 그라스만니안 게르베와 스피너 리프팅 게르베 사이의 자연스러운 동형사상에 의해 린드스터 스피너 구조와의 동치성을 확립한다.

ABSTRACT

We address the construction of smooth bundles of fermionic Fock spaces, a problem that appears frequently in fermionic gauge theories. Our main motivation is the spinor bundle on the free loop space of a string manifold, a structure anticipated by Killingback, with a construction outlined by Stolz-Teichner. We develop a general framework for constructing smooth Fock bundles, and obtain as an application a complete and well-founded construction of spinor bundles on loop space.

연구 동기 및 목표

• 라그랑주 부분공간이 연속적으로 선택되지 못하는 매개변수 공간 위에서, 페르미온 포크 공간의 매끄러운 번들의 구축에 도전하는 것.
• 스톨츠-티히너와 앤블러의 작업을 일반화하고 보완하기 위해, 연속적인 포크 번들을 매끄럽고 고정된 형태로 개선하는 것.
• 스트링 다양체 위의 린드스터 스피너 구조와 그 자유 린드스터 공간 위의 매끄러운 스피너 번들 사이의 자연스러운 대응을 확립하는 것.
• 제한된 옥시던터 군과 그 실현자들이 고정된 포크 공간 위에서 매끄러운 작용을 하기 위한 철학적 기초를 표현 이론적으로 확립하는 것.
• 매끄러운 포크 번들의 장애 요소가 스피너 리프팅 게르베와 동형인 번들 게르베로 기록되며, 이의 자명화가 린드스터 스피너 구조와 대응됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 포크 공간에 밀도가 있고 프레셰 부분공간을 부여함으로써, 매끄러운 번들에 적합한 고정된 힐버트 공간 번들을 도입한다.
• 보골리우브 자동형사와 클리포드 곱셈의 매끄러움을 보장하기 위해, $\operatorname{Cl}(V)^\infty \subset \operatorname{Cl}(V)$인 프레셰 부분대수를 구성한다.
• 린드스터 공간 $LM$ 위에서의 편광 의존 포크 번들 $\mathcal{F}^\infty(\mathcal{H})^{\mathrm{pol}}$를 매끄럽고 왜곡된 벡터 번들로 정의한다.
• 기저 번들 구성법을 통해 라그랑주 그라스만니안 게르베 $\mathscr{G}_{\mathcal{H}}$와 스피너 리프팅 게르베 $\mathscr{L}_{L\operatorname{Spin}(E)}$ 사이의 자연스러운 동형사상을 확립한다.
• 고정된 구조를 이용해 클리포드 번들 $\pi^*\operatorname{Cl}^\infty(L\operatorname{Spin}(E))$이 포크 번들 위에서의 작용이 매끄럽고 실현 가능성 조건과 호환됨을 증명한다.
• 게르베 $\mathscr{G}_{\mathcal{H}}$와 $\mathscr{L}_{L\operatorname{Spin}(E)}$ 사이의 동형관계를 활용하여, 게르베의 자명화가 매끄러운 포크 번들, 즉 $LM$ 위의 스피너 번들임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라그랑주 부분공간이 연속적으로 변화하지 못하는 상황에서, 린드스터 공간 위에 매끄러운 포크 번들을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 페르미온 게이지 이론에서 매끄러운 군 작용을 지원할 수 있는 무한차원 일반화된 매끄러운 힐버트 번들의 올바른 형태는 무엇인가?
• RQ3 스트링 다양체 위의 린드스터 스피너 구조는 그 자유 린드스터 공간 위의 매끄러운 스피너 번들과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 매끄러운 포크 번들의 장애 요소는 번들 게르베로 기록될 수 있으며, 만약 그렇다면 이는 알려진 기하학적 구조와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 고정된 힐버트 공간과 프레셰 부분대수는 클리포드 대수군과 그 실현자들의 매끄러운 표현을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 포크 공간 $\mathcal{F}_L$는 밀도가 있고 프레셰 부분공간 $\mathcal{F}_L^\infty$를 지닌다. 이에 따라 실현자 군 $\operatorname{Imp}_L(V)$의 작용이 $\mathcal{F}_L^\infty$ 위에서 매끄럽게 된다.
• 보골리우브 자동형사 $\operatorname{O}_L(V)$가 매끄럽게 작용하는 프레셰 부분대수 $\operatorname{Cl}(V)^\infty \subset \operatorname{Cl}(V)$가 존재한다.
• 클리포드 곱셈은 매끄러운 작용 $\operatorname{Cl}(V)^\infty \times \mathcal{F}_L^\infty \to \mathcal{F}_L^\infty$로 제한되며, 이는 매끄러운 구조와의 호환성을 보장한다.
• 편광 의존 포크 번들 $\mathcal{F}^\infty(\mathcal{H})^{\mathrm{pol}}$는 $\mathscr{G}_{\mathcal{H}}$-왜곡된 벡터 번들이며, $\mathscr{G}_{\mathcal{H}}$는 스피너 리프팅 게르베 $\mathscr{L}_{L\operatorname{Spin}(E)}$와 자연스럽게 동형이다.
• 게르베 $\mathscr{L}_{L\operatorname{Spin}(E)}$의 자명화는 정확히 $E$ 위의 린드스터 스피너 구조에 대응하며, 이는 $LM$ 위의 매끄러운 포크 번들을 유도한다.
• 린드스터 공간 $LM$ 위의 짝수 및 홀수 린드스터 스피너 번들은 매끄럽고 왜곡된 포크 번들로서 구성되며, 짝수 번들 $\mathbb{S}^\infty_{\text{even}}(\widetilde{L\operatorname{Spin}}(E))$는 린드스터 스피너 구조와 자연스럽게 관련되어 있다.