[论文解读] Smooth Functors vs. Differential Forms

Urs Schreiber, Konrad Waldorf|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 17

一句话总结

本文建立了光滑流形的路径2-群胚上光滑2-函子与微分形式之间的范畴等价，推广了已知的光滑函子与1-形式之间的对应关系。它表明光滑2-函子对应于非交换纤维丛上的联络、光滑函子的导数，以及BF理论中的临界点，其核心结果是通过积分和曲率公式，建立了2-函子与微分形式之间的精确字典。

ABSTRACT

We establish a relation between smooth 2-functors defined on the path 2-groupoid of a smooth manifold and differential forms on this manifold. This relation can be understood as a part of a dictionary between fundamental notions from category theory and differential geometry. We show that smooth 2-functors appear in several fields, namely as connections on (non-abelian) gerbes, as curvatures of smooth functors and as critical points in BF theory. We demonstrate further that our dictionary provides a powerful tool to discuss the transgression of geometric objects to loop spaces.

研究动机与目标

• 将已知的光滑函子与1-形式之间的对应关系推广至光滑2-函子与2-形式之间的对应关系。
• 建立范畴论与微分几何概念之间的系统性字典，尤其针对高阶规范理论。
• 证明光滑2-函子自然地出现在非交换纤维丛、函子的导数以及BF理论中的经典解等物理与几何背景中。
• 开发工具，利用2-函子-形式对应关系，系统地将几何结构上同调至环路空间。

提出的方法

• 构造光滑流形X的路径2-群胚P₂(X)，其中2-态射为路径之间薄同伦类的同伦。
• 引入与李2-群𝔾相关的2-范畴B𝔾，推广群的分类空间构造。
• 定义光滑2-函子F: P₂(X) → B𝔾，并证明其对应于一对微分形式(A, B)：A为取值于𝔾的群部分的李代数的1-形式，B为取值于模部分的2-形式。
• 通过证明此类2-函子的曲率为3-形式d⁢B + α*(B ∧ A)，其中α为群对模的作用，建立主要定理。
• 利用上同调映射将2-函子提升至环路空间，表明在LX上诱导的结构对应于环路空间上的1-函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将光滑函子与1-形式之间的对应关系推广至光滑2-函子与光滑流形上2-形式之间的关系？
• RQ2 在非交换纤维丛的背景下，支撑光滑2-函子的精确范畴结构与微分几何结构是什么？
• RQ3 在高阶规范理论的背景下，光滑2-函子如何与BF理论中的临界点相关联？
• RQ4 能否利用2-函子与微分形式，系统地描述从流形到其环路空间的几何结构上同调？

主要发现

• 光滑2-函子F: P₂(X) → B𝔾与对(A, B)之间存在一一对应，其中A为𝔤-值1-形式，B为𝔪-值2-形式，且满足曲率条件。
• 光滑2-函子的曲率为3-形式d⁢B + α*(B ∧ A)，与非交换纤维丛联络的曲率一致。
• 当同伦为薄同伦时，2-函子在薄同伦下不变，意味着2-函子可分解为薄同伦类空间B²X上的函子。
• 将光滑2-函子上同调至环路空间LX，可得到LX上的光滑函子，其对应于环路空间上的1-联络。
• 沿3参数大三角形族对2-函子的全息不变量求导，可得到曲率3-形式，与微分几何一致。
• 该构造提供了一套系统框架，用于将高阶规范场在环路空间上同调，从而能够研究曲面全息不变量与高阶全息不变量。