[논문 리뷰] Smooth loop stacks of differentiable stacks and gerbes

David Roberts, Raymond F. Vozzo|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 원환면에서 리 군에이드로의 아나펑터의 프레셰–리 군에이드를 도입하여, 미분 가능 스택 $\mathcal{X}$에 대한 $\sigma\underline{\mathcal{H}om}(S^1, \mathcal{X})$의 매끄러운 표현을 제공한다. 주요 기여는 번들 게르베의 루프 스택을 구성하는 것이다: 다양체 $M$ 위의 게르베의 기초 군에이드에 이 건축을 적용하면, 루프 공간 $LM$ 위의 새로운 번들 게르베를 얻을 수 있으며, 접속과 같은 기하적 구조를 유지한다.

ABSTRACT

Résumé. Nous définissons un groupoïde de Fréchet-Lie Map(S^1,X) d'ana-foncteurs du cercle vers un groupoïde de Lie X. Ceci fournit une présentation du Hom-champ Hom(S^1,\cX), où \cX est le champ différentiable associé à X. Nous appliquons cette construction au groupoïde de Lie sous-jacent au `gerbe fibré' d'une variété différentiable M; le résultat est un gerbe fibré au-dessus de l'espace des lacets LM de M. Abstract. We define a Fréchet--Lie groupoid Map(S^1,X) of anafunctors from the circle into a Lie groupoid X. This provides a presentation of the Hom-stack Hom(S^1,\cX), where \cX is the differentiable stack associated to X. We apply this construction to the Lie groupoid underlying a bundle gerbe on a manifold M; the result is a bundle gerbe on the loop space LM of M.

연구 동기 및 목표

• 프레셰–리 군에이드를 사용하여 미분 가능 스택에 대한 매끄럽고 기하학적으로 잘 정의된 루프 스택 구축을 정의하기.
• 루프 스택의 개념을 위상적 또는 디플로이드 설정을 넘어서, 미분 기하학을 지원하는 프레임워크로 확장하기.
• 이 건축을 번들 게르베에 적용하여, 루프 공간 $LM$ 위의 새로운 번들 게르베를 생성하고, 이를 통해 기하적 구조를 유지하기.
• 루프 스택이 게르베 구조를 그대로 이어받고 접속 구조를 지원할 수 있음을 입증하기.
• 루프 공간의 맥락에서 고차 기하 대상(예: 스트링 2군 게르베)을 연구하기 위한 기초를 마련하기.

제안 방법

• 원환면 $S^1$에서 리 군에이드 $X$로의 아나펑터의 군에이드 $\operatorname{Map}(S^1, X)$를 정의하며, 군에이드로의 매끄러운 사상들을 사용한다.
• 이 군에이드가 리 군에이드 $X$에 대응하는 미분 가능 스택 $\mathcal{X}$에 대한 $\underline{\mathcal{H}om}(S^1, \mathcal{X})$를 표현함을 보이며, 매끄러움과 스택의 구조와의 호환성을 확보한다.
• 다양체 $M$ 위의 번들 게르베의 기초 군에이드에 이 건축을 적용하여, 루프 공간 $LM$ 위의 새로운 군에이드를 유도한다.
• 특히 국소적으로 자명한 사상과 자명화 커버의 존재를 확인하여, 결과 군에이드가 $LM$ 위의 번들 게르베임을 증명한다.
• 끌임으로부터의 다이어그램적 추론을 통해, $X^\mathbb{2}$의 작용과 당김의 성질을 이용하여, 아벨 게르베의 루프 스택이 $LM$ 위의 아벨 게르베임을 보이며, 구조 군은 $LA$임을 입증한다.
• 이 건축이 등가성 이하에서 곱을 유지한다는 사실을 활용하여, 스트링 군과 같은 일관성 있는 디플로이드 2군으로의 확장을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 차원 리 군에이드를 사용하여, 미분 가능 스택에 대한 매끄러운 루프 스택 구축이 가능할 수 있는가?
• RQ2 다양체 $M$ 위의 번들 게르베의 루프 스택이 루프 공간 $LM$ 위의 게르베로 구조를 유지하는가?
• RQ3 번들 게르베의 경우, 루프 스택 구축이 접속과 곡률과 같은 기하적 자료를 유지하는가?
• RQ4 $M$ 위의 아벨 $A$-게르베의 루프 스택이 $LM$ 위의 $LA$-게르베인가?
• RQ5 이 건축은 스트링 2군과 같은 고차 무한 차원 모델에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 원환면 $S^1$에서 리 군에이드 $X$로의 아나펑터 군에이드 $\operatorname{Map}(S^1, X)$는 프레셰–리 군에이드이며, $\underline{\mathcal{H}om}(S^1, \mathcal{X})$의 매끄러운 표현을 제공한다.
• 다양체 $M$ 위의 번들 게르베의 기초 군에이드에 이 건축을 적용하면, 루프 공간 $LM$ 위의 번들 게르베를 얻을 수 있으며, 게르베 구조를 유지한다.
• 아벨 $A$-게르베의 루프 스택은 $LM$ 위의 $LA$-번들 게르베이며, 게르베 구조가 루프 공간으로 자연스럽게 올라가는 것을 보여준다.
• 이 건축은 매끄러운 구조와 호환되며, 루프 스택에서의 파artitions of unity와 매끄러운 기하학적 분석이 가능하다.
• 이 방법은 BCSS 모델과 같은 무한 차원 모델에 적용 가능하며, $\mathbb{L}\operatorname{String}_G^{\text{BCSS}}$가 일관성 있는 디플로이드 2군임을 시사한다.
• 결과적으로, 루프 게르베에 접속 구조를 정의하고 연구할 수 있는 가능성을 뒷받침하며, 번들 게르베 이론을 루프 공간으로 확장한다.