[論文レビュー] Soft modes in jammed hard spheres (I): Mean field theory of the isostatic transition

Giorgio Parisi|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ジャムド・ハード・スフィアにおけるソフトモードの平均場理論を構築し、解析的に、イソスタティック転移（座標数 z = 2D）において、低振動数領域で密度状態が ∝ λ⁻¹/² の平方根発散を示すことを示している。これはソフトモードの過剰を示唆する。無限次元極限では、正確な解が得られ、λ⁻¹/²特異性と ω = 0 の近くの準局在状態が確認された。

ABSTRACT

In this paper we consider different models for soft modes in jammed hard spheres. We show how one can construct mean field models that can be solved analytically. The analytic solution of these models displays an excess of low energy soft modes that become more and more localized by decreasing the energy. A simple solution of these models is found in the infinite dimensional limit.

研究の動機と目的

• ジャムド・ハード・スフィアにおける過剰な低エネルギー振動モードの起源を、解析的に解ける平均場モデルを用いて理解すること。
• 機械的安定性が僅かに満たされるイソスタティック転移点（z = 2D）における臨界的挙動を調査すること。
• 低エネルギー領域でソフトモードが局在化するかどうか、およびそのスペクトル密度とリゾルベントの挙動に与える影響を特定すること。
• 無限次元極限における正確な結果を導出し、密度状態における λ⁻¹/² 特異性の頑健性を評価すること。

提案手法

• ガウス分布に従うベクトル x^ν を用いて、相互作用行列 J を J_{i,k} = ∑_ν x^ν_i x^ν_k として定義する、擬似・ウィシャルト行列を用いた平均場モデルを構築する。
• N → ∞ の極限における行列 J のスペクトル密度 ρ(λ) を分析し、α = M/N = α_c のとき、λ = 0 で λ⁻¹/² 発散を示すマルチェンコ＝パストール分布に従うことを示す。
• リゾルベント R(λ) = (λ - J)⁻¹ を用い、局在化転移を検出するために I(λ) = lim_{ε→0} ⟨(Im R_{i,i}(λ+iε))²⟩ / ⟨Im R_{i,i}(λ+iε)⟩² を定義する。
• キャビティ法と D → ∞ 極限におけるリゾルベントの自己無撞着方程式を適用し、s = -s q(-sλ, γ) + 1（s = 1 + m）を導出し、γ = 2 のとき s ∝ λ⁻¹/² であることを示す。
• 並進零モードを除去するために投影リゾルベント Q(λ) を考案し、モノポール力への応答の分析と λ = 0 の近傍における大きなフラクチュエーションの検出を可能にする。
• DDモデルからの数値データと比較し、ω_c ∝ (z - z_c)^ν（ν ≈ 0.94）の良好な一致を得た。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャムド・ハード・スフィアの平均場モデルにおける、低エネルギー振動モードの過剰の起源は何か？
• RQ2 イソスタティック点（z = 2D）における λ = 0 の近くで、スペクトル密度 ρ(λ) はどのように振る舞うか？
• RQ3 ω = 0 で局在化転移が発生するか？ もし発生するならば、リゾルベントではどのように示されるか？
• RQ4 力学的行列の固有状態は低エネルギー領域でどのように振る舞い、局在化への傾向はあるか？
• RQ5 無限次元極限におけるリゾルベントおよびその対角成分の挙動は何か？

主な発見

• イソスタティック点（α = α_c）において、スペクトル密度 ρ(λ) は λ⁻¹/² に発散し、ω = 0 の近くで密度状態 D(ω) ∝ ω⁰ が平坦になる。
• λ = 0 における ρ(λ) の発散は頑健であり、D → ∞ 極限でも維持され、マルチェンコ＝パストール分布で観察される同じ λ⁻¹/² 特異性が確認された。
• リゾルベントの対角成分は λ → 0 のとき、発散するフラクチュエーション I(λ) を示し、零周波数近傍での準局在状態の拡張状態の始まりを示唆する。
• 無限次元極限では、自己無撞着方程式により、γ = 2 のとき s ∝ λ⁻¹/² が得られ、λ⁻¹/² 挙動が解析的に確認された。
• 負の λ に対して定義された投影リゾルベント Q(λ) は、小さな正の λ における Im(R(λ)) と同様に大きなフラクチュエーションを示し、ω = 0 の近傍での応答の増幅を示している。
• モデルは ω_c ∝ (z - z_c)^ν（ν ≈ 0.94）を予測し、DDモデルからの数値データと良好に一致した。