[논문 리뷰] Soft topology redefined

Moumita Chiney, S. K. Samanta|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 26.

Fuzzy and Soft Set Theory참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 분배적이지 않은 기본 합집합 및 교집합 연산을 사용하여 소프트 위상수학을 재정의하며, 나즈의 위상수학과는 다를 바 있는 새로운 소프트 위상수학 프레임워크를 제안한다. 주요 기여는 소프트 원소와 기본 보완을 기반으로 하는 새로운 소프트 위상수학으로, 배중률이 성립하지 않으며, 소프트 집합 기반 위상수학적 구조에 대한 비고전적 기초를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we give a new definition of soft topology using elementary union and elementary intersection although these operations are not distributive. Also we have shown that this soft topology is different from Naz's soft topology and studied some basic properties of this new type of soft topology. Here we use elementary complement of soft sets, though law of excluded middle is not valid in general for this type of complementation.

연구 동기 및 목표

• 기본 합집합 및 교집합 연산을 기반으로 하되, 이들이 분배적이지 않은 새로운 소프트 위상수학의 정의를 제안한다.
• 제안된 소프트 위상수학이 나즈의 소프트 위상수학과 어떻게 다를지, 특히 위상수학적 구조와 해석 측면에서 구분한다.
• 소프트 원소와 기본 보완을 사용하여 이 새로운 소프트 위상수학 공간의 기본 성질을 조사한다.
• 이 프레임워크에서 배중률이 실패하는 이유를 탐구하며, 비고전적 논리 측면을 강조한다.
• 새로운 위상수학적 구조 내에서 소프트 분리 공리(정규성 및 정상성)를 수립한다.

제안 방법

• 공통 매개변수 집합 A 위에서 소프트 집합에 대한 표준 집합론적 연산이 아닌 기본 합집합 및 교집합 연산을 통해 소프트 위상수학을 정의한다.
• 매개변수 집합 A에서 전칭집합 X로의 함수로 소프트 원소를 정의하고, 점별 포함을 통해 소프트 소속을 정의한다.
• 기본 보완(표준 상대 보완이 아님)을 사용하여 소프트 닫힌 집합을 정의함으로써 비고전적 논리 행동을 이끌어낸다.
• 소프트 원소와 그 이웃을 기반으로 한 닫힘 연산을 정의하여 소프트 정규 및 정상 공간을 설정한다.
• 새로운 위상수학이 나즈의 위상수학과 동치가 아니며, 핵심 위상수학적 성질(예: 정규성)이 고전적 이웃 조건을 함의하지 않는다는 것을 보여주는 예시를 구성한다.
• 소프트 원소와 열린 소프트 집합을 사용하여 소프트 분리 공리(소프트 T1, 소프트 정규, 소프트 정상)를 정의하고, 닫힘을 소프트 원소의 이웃을 통해 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비분배적인 기본 합집합 및 교집합 연산을 사용하여 소프트 위상수학을 어떻게 재정의할 수 있는가?
• RQ2 제안된 소프트 위상수학은 나즈의 소프트 위상수학과 어떤 점에서 다를까? 특히 위상수학적 구조와 해석 측면에서.
• RQ3 기본 보완을 소프트 집합에 사용할 경우, 특히 배중률의 실패 측면에서 어떤 함의가 있는가?
• RQ4 이 새로운 프레임워크에서 소프트 정규성과 정상성이 의미 있게 정의될 수 있는가? 이는 이웃 조건과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 새로운 공리(예: 소프트 정규성)가 고전적 위상수학적 성질과 얼마나 유사하거나 다를까? 소프트 환경에서의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 소프트 위상수학은 나즈의 소프트 위상수학과 근본적으로 다르며, 이는 날것의 위상수학과 동치가 아니며, 비분배적 연산에 의존한다.
• 이 프레임워크에서 기본 보완은 배중률을 무효화한다. 즉, 일반적으로 소프트 집합 (F,A)에 대해 (F,A) ∪ (F,A)^C ≠ (X̃,A)이다.
• 소프트 정규성은 (V,A) ⊆ (U,A) 및 (V,A) ∩ (W,A) = (Φ,A)를 만족하는 이웃의 존재로 특징지어지며, 여기서 (W,A)는 (V,A)의 닫힘의 보완이다.
• 정규성 조건의 역은 성립하지 않으며, 이는 예제 6.9에서 소프트 정규 공간이 이웃 조건을 만족하지 못함을 보여준다.
• 소프트 정상성은 서로소인 열린 소프트 집합이 서로소인 소프트 닫힌 집합을 분리할 수 있음으로써 특징지어지며, 이웃 조건의 보완 조건(F ⊆ V ⊆ cl(V) ⊆ U)은 소프트 정상성을 함의하지만, 그 역은 성립하지 않는다.
• 예제 6.12는 소프트 정상 공간이 이웃 조건의 보완을 만족하지 않을 수 있음을 보여주며, 정상성 특징의 역이 성립하지 않음을 확인한다.