[論文レビュー] Solitons on nanotubes and fullerenes as solutions of a modified non-linear Schroedinger equation

Yves Brihaye, Betti Hartmann|ArXiv.org|Apr 30, 2004

Fullerene Chemistry and Applications参考文献 2被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、fullereneとナノチューブにおける六角格子上の電子・格子振動子励起をモデル化する修正非線形シュレーディンガー方程式におけるソリトン解を調査する。ボソン星およびQ-ボール物理学から得られたアンザッツを用い、球面的、ディスク型、円柱型の幾何構造上に非回転および回転するソリトンを構築し、ルジャンドル関数、ベッセル関数、三角関数と関連する節点を多く持つ解が得られ、強い非線形性下で球面上の非対称解に伴い自発的対称性の破れが観測された。

ABSTRACT

Fullerenes and nanotubes consist of a large number of carbon atoms sitting on the sites of a regular lattice. For pratical reasons it is often useful to approximate the equations on this lattice in terms of the continuous equation. At the moment, the best candidate for such an equation is the modified non-linear Schroedinger equation. In this paper, we study the modified non-linear Schroedinger equation, which arises as continuous equation in a system describing an excitation on a hexagonal lattice. This latter system can e.g. describe electron-phonon interaction on fullerene related structures such as the buckminster fullerene and nanotubes. Solutions of this modified non-linear Schroedinger equation, which have solitonic character, can be constructed using an Ansatz for the wave function, which has time and azimuthal angle dependence introduced previously in the study of spinning boson stars and Q-balls. We study these solutions on a sphere, a disc and on a cylinder. Our construction suggests that non-spinning as well as spinning solutions, which have a wave function with an arbitrary number of nodes, exist. We find that this property is closely related to the series of well-known mathematical functions, namely the Legendre functions when studying the equation on a sphere, the Bessel functions when studying the equation on a disc and the trigonometric functions, respectively, when studying the equation on a cylinder.

研究の動機と目的

• 離散的格子力学からの連続的有効方程式を導出し、fullereneとナノチューブにおける電子・格子振動子相互作用をモデル化すること。
• カbonナノ構造に関連する曲がった幾何構造上における修正非線形シュレーディンガー方程式のソリトン解を調査すること：球面（fullerene）、ディスク（平面近似）、円柱（ナノチューブ）。
• 対称性に起因するアンザッツを用いて、任意の節点数を持つ非回転および回転ソリトンの存在と性質を調査すること。
• 非線形性が反射対称性（特に球面上）を破る役割を分析し、線形限界を超える新たな解の種類の出現を同定すること。

提案手法

• 回転するボソン星およびQ-ボールの文脈で開発された、時間および方位角座標に依存する波動関数のアンザッツを採用する。
• 2次元六角格子上における離散的電子・格子振動子相互作用モデルの連続極限として、修正非線形シュレーディンガー方程式を適用する。
• 2次元球面（fullerene用）、2次元ディスク（平面近似用）、円柱（ナノチューブ用）の3つの多様体上で方程式を解き、適切な境界条件を課す。
• 変数分離法を用いて偏微分方程式を常微分方程式に還元し、その解が特殊関数（球面上ではルジャンドル関数、ディスク上ではベッセル関数、円柱上では三角関数）と関連することを示す。
• 数値解析を実施し、特に非線形パラメータgに対する周波数ωの依存性を解明する。
• 反射対称性（円柱上ではz → -zの下での対称性、球面上では赤道面対称性）の性質を調査し、自発的対称性の破れを検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 fullereneとナノチューブに関連する球面的、ディスク型、円柱型の幾何構造上における修正非線形シュレーディンガー方程式に、任意の節点数を持つソリトン解が存在するか？
• RQ2 球面、ディスク、円柱上の解は、ルジャンドル関数、ベッセル関数、三角関数といった既知の特殊関数とどのように関係しているか？
• RQ3 非対称で反射対称性を持たない解は球面上に存在しうるか？その条件は何か？
• RQ4 特に強い非線形性下で、ソリトン解に自発的対称性の破れが生じるか？また、その破れは新たな解種の出現とどのように関係するか？
• RQ5 弱結合限界（g ≪ 1）および強結合限界（g ≫ 1）におけるソリトン周波数ωの振る舞いは何か、特に円柱上の基底状態においては？

主な発見

• 球面上では、解は変形されたルジャンドル関数で記述される。強い非線形性下で非対称解が出現し、赤道面反射対称性が破れる。
• ディスク上では、解は変形されたベッセル関数で記述され、半径を固定したディスク幾何構造の極限において、平面近似（bhz）の解が回復される。
• 円柱上では、解は変形された三角関数で記述される。無限長さ（L → ∞）の極限では、非線形パラメータgのすべての値に対して正規化可能な解が存在する。
• 円柱上の基底状態（m=0, k=0）において、弱結合（g ≪ 1）では周波数ω ≈ -0.1g²、強結合（g ≫ 1）ではω ≈ -0.555g + 1.28とスケーリングされ、非線形飽和効果が示唆される。
• 円柱上では、z → -zの下で偶関数でも奇関数でもない非対称解（非反射的解）は得られず、この幾何構造上ではこのような解が存在しない可能性が示唆される。
• 解のスペクトルは豊富で、内部角運動量（スピン）と節点数という2つの量子数によって特徴づけられ、線形系における主量子数に類似した性質を示す。