[論文レビュー] Solution Techniques for the Stokes System: A priori and a posteriori modifications, resilient algorithms

Markus Huber, Lorenz John+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ストークス系を解く低次の有限要素法に対して、事前エネルギー補正および事後フラックス補正手法を提案する。近似空間の拡張なしに、精度と質量保存性を向上させることを目的としている。これらの手法は、グローバル誤差汚染を抑制し、局所的保存性を実現する。また、耐障害性を持つ多重グリッドソルバにより、極大規模コンピューティング環境でも耐障害性を確保し、大規模問題、特に地球物理学的マントル対流シミュレーションにおいて最適収束性と並列性能を達成する。

ABSTRACT

This article proposes modifications to standard low order finite element approximations of the Stokes system with the goal of improving both the approximation quality and the parallel algebraic solution process. Different from standard finite element techniques, we do not modify or enrich the approximation spaces but modify the operator itself to ensure fundamental physical properties such as mass and energy conservation. Special local a~priori correction techniques at re-entrant corners lead to an improved representation of the energy in the discrete system and can suppress the global pollution effect. Local mass conservation can be achieved by an a~posteriori correction to the finite element flux. This avoids artifacts in coupled multi-physics transport problems. Finally, hardware failures in large supercomputers may lead to a loss of data in solution subdomains. Within parallel multigrid, this can be compensated by the accelerated solution of local subproblems. These resilient algorithms will gain importance on future extreme scale computing systems.

研究の動機と目的

• 再入角特異性に起因するストークス流れのシミュレーションにおけるグローバル誤差汚染を、有限要素空間の拡張なしに解消すること。
• 近似空間の増加なしに、等次数有限要素法における局所的質量保存性を達成すること。
• 将来のエクサスケールシステムにおける潜在的なハードウェア障害を想定し、耐障害性・故障に強いソルバを開発すること。
• 複雑な地球物理学的流れ問題において、多重グリッドソルバの最適収束性および並列拡張性を保証すること。
• 輸送とストークス流れを含むマルチフィジックスシミュレーションにおいて、物理的に整合的で保存的な結合を実現すること。

提案手法

• 再入角における特異性を考慮するために、剛性行列に対する局所的な事前修正を施し、エネルギー内積を補正することで、離散的エネルギー表現の改善を図る。
• 等次数有限要素近似において局所的質量保存性を強制するために、事後フラックス補正を用い、安定化または拡張された空間の必要性を回避する。
• 修正されたスキームを、Krylov加速を施した幾何学的多重グリッドフレームワークに統合し、最適な代数的収束率を確保する。
• 故障した部分領域における部分問題の解法を加速することで、局所的データ損失に対しても回復可能な耐障害性を持つ多重グリッドアルゴリズムを設計する。
• 修正された有限要素法と、フラックス補正を施した陽的時間積分法を組み合わせ、連成流れ・輸送問題における移流拡散方程式を解く。
• 並列多重グリッドと代数的多重グリッドプリコンディショナを用いて大規模システムに実装し、高い並列効率と耐障害性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再入角特異性に起因するストークス流れにおけるグローバル汚染効果は、有限要素空間の拡張なしに解消可能か？
• RQ2 等次数有限要素法において、ソルバの複雑性を増加させることなく、局所的質量保存性を達成可能か？
• RQ3 極大規模コンピューティング環境におけるハードウェア障害に耐えるように、多重グリッドソルバを設計可能か？
• RQ4 事前エネルギー補正により、離散系における最適収束性とエネルギー表現の向上が達成可能か？
• RQ5 ストークス方程式と輸送方程式の保存的結合は、長期にわたる地球物理学的シミュレーションにおける物理的一致性にどのように影響するか？

主な発見

• 事前エネルギー補正により、再入角を持つ領域におけるストークス系で、メッシュの拡張なしにグローバル誤差汚染が完全に除去され、最適収束率が達成された。
• 事後フラックス補正により、等次数有限要素法における局所的質量保存性が実現され、非保存的スキームで観測された最大100%の物理的に不適切な解の過剰挙動が抑制された。
• 修正されたスキームは、最適な代数的収束性を維持し、大規模システムでも優れた並列拡張性を示した。
• 耐障害性を持つ多重グリッドアルゴリズムは、部分領域の障害に起因する局所的データ損失に対し、部分問題の解法を加速することで回復可能であり、将来のエクサスケールアーキテクチャでも故障に強い運用が可能となった。
• 非等粘性または温度依存粘性を有する地球物理学的シミュレーションにおいて、保存的結合により不適切な駆動力が発生せず、速度場および温度場の物理的一致性が維持された。
• 1億個の四面体要素を有するメッシュ上では、11,500ステップにわたるマントル対流シミュレーションが安定かつ有界な解を示しながら、複雑な粘性ジャンプと熱対流を成功裏に再現した。