[論文レビュー] Solutions globales pour des équations de Schrödinger sur-critiques en toutes dimensions

Aurélien Poiret|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、一般の確率変数（ガウス分布に限らない）を用いた確率的手法により、すべての次元においてエネルギー臨界および超臨界非線形シュレーディンガー方程式のグローバル存在を確立する。ハーモニックオシレーターの正則化効果を活用し、初期データを $\overline{H}^{(d-1)/2}(\mathbb{R}^d)$ に属するものとすることで、次元 1 に対しても、固有関数の任意の正規直交基底に対しても、ほとんど確実なグローバル適切性を証明する。

ABSTRACT

In \cite{poiret}, we explain how we can construct global solutions for the cubic Schrödinger equation in three dimensional with initial data in $ L^2(\mathds{R}^3) $. The main ingredient of this proof is the existence of the bilinear estimate for the harmonic oscillator. This estimate is true in all dimensions $ d \geq 2 $ and we can adapt the proof in these cases. We explain in this paper how we can use the smoothing effect to obtain an analogous theorem in all dimensions, in particular in dimension 1. The gain of regularity is lower but we can choose any basis of eigenfunctions and random variables more general than Gaussian.

研究の動機と目的

• 三次非線形シュレーディンガー方程式のグローバル解の構成を、次元 3 を超えてすべての空間次元に拡張すること。特に次元 1 を含む。
• 初期データの確率的乱雑化の手法を、ガウス分布やベルヌーイ変数に限らない、モーメントおよび尾部減衰条件を満たす広いクラスの確率変数へ一般化すること。
• グローバル存在が標準的な固有関数基底に限らず、ハーモニックオシレーターの任意の正規直交基底に対しても成り立つことを示すこと。
• 2次形式の推定が高次元で不十分であっても、シュレーディンガー発展作用素の正則化効果を用いることで、結果を確立すること。
• 一般の乱雑化のもとで、ほとんど確実なグローバル適切性を保証するのに十分な正則性閾値 $\overline{H}^{(d-1)/2}(\mathbb{R}^d)$ が十分であることを証明すること。

提案手法

• 初期データ $u_0$ を、$u_0^\omega = \sum_n c_n g_n(\omega) h_n(x)$ の形で乱雑化する。ここで $g_n$ はモーメントおよび尾部減衰条件を満たす i.i.d. 確率変数である。
• ハーモニックオシレーター $H = -\Delta + |x|^2$ を用いて、ノルム $\|H^{(d-1)/4}u\|_{L^2}$ を用いて正則性空間 $\overline{H}^{(d-1)/2}(\mathbb{R}^d)$ を定義する。
• シュレーディンガー発展作用素 $e^{itH}$ の正則化効果を適用し、次元 1 では $\frac{1}{2} - \frac{2}{p-1}$ 個の微分の増加が得られることを示す。
• 高次元では正則化効果が弱いが、乱雑化と組み合わせることで依然として十分であることが示せる、ブルーサイン型の2次形式推定の適応。
• 確率的推定を確率的初期データから解空間 $X^s_T$ におけるほとんど確実なグローバル存在に引き上げるための転送定理の利用。
• ランダム初期データが $L^2(\Omega; \overline{H}^{(d-1)/2})$ に属することを保証するための主要なモーメントおよび尾部条件（H_γ, H_E1, H_01, H_02）の検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 1 における超臨界非線形シュレーディンガー方程式に対して、確率的初期データを用いてグローバル解を構成できるか？
• RQ2 2次形式推定に依存せずに、シュレーディンガー発展作用素の正則化効果が次元 1 でグローバル適切性を確立するのに十分か？
• RQ3 テンソル積基底に限らず、ハーモニックオシレーターの任意の正規直交基底に対しても、確率的手法を拡張できるか？
• RQ4 サブ指数的尾部を持つ非ガウス確率変数（例：指数的尾部）を用いても、グローバル存在が保たれるか？
• RQ5 一般の乱雑化のもとで、ほとんど確実なグローバル適切性を保証するのに必要な初期データの最適正則性閾値 $\overline{H}^{(d-1)/2}(\mathbb{R}^d)$ は何か？

主な発見

• 本稿は、すべての次元 $d \geq 1$ において、エネルギー臨界および超臨界 NLS に対してほとんど確実なグローバル適切性を証明する。これは、従来の結果が $d \geq 3$ に限られていたのを拡張するものである。
• 次元 1 では、シュレーディンガー発展作用素の正則化効果により、$\frac{1}{2} - \frac{2}{p-1}$ 個の微分の増加が得られ、線形推定のみで議論を閉じることが可能である。
• 結果は、テンソル積基底に限らず、ハーモニックオシレーターの固有関数の任意の正規直交基底に対して成り立つ。
• サブ指数的尾部減衰および対称性条件を満たす広いクラスの確率変数を用いた乱雑化が可能であり、ガウス分布やベルヌーイ変数に制限されない。
• 初期データが $\overline{H}^{(d-1)/2}(\mathbb{R}^d)$ に属する限り、ランダム初期データが $L^2(\Omega; \overline{H}^{(d-1)/2})$ に属することを保証でき、転送定理の適用が可能になる。
• ほとんどすべての確率的初期データの実現に対して、解は時間全域で存在し、解空間 $X^s_T$ に属する。ここで $s \in \left(\frac{d}{2} - \frac{2}{p-1}, \frac{d}{2}\right)$ である。