[논문 리뷰] Solutions of the Yang-Baxter equations on orthogonal groups : the case of oscillator groups

Mohamed Boucetta-Alberto Medina|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 14.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 오실레이터 리 대수군에서 리 볼레르그 구조와 고전적 양-버터스터 방정식의 해를 분류하며, 각 해가 그 이중 리 군 위에 평탄하고 좌불변인 루차티안 계량을 유도함을 보여준다. 주요 기여는 직교 리 군에서의 해를 통해 완전하고 평탄한 루차티안 계량을 지닌 해소군의 큰 클래스를 구성하는 것이다.

ABSTRACT

A Lie group is called orthogonal if it carries a bi-invariant pseudo Riemannian metric. Oscillator Lie groups constitutes a subclass of the class of orthogonal Lie groups. In this paper, we determine the Lie bialgebra structures and the solutions of the classical Yang-Baxter equation on a generic class of oscillator Lie groups. On the other hand, we show that any solution of the classical Yang-Baxter equation on an orthogonal Lie group induces a metric in the dual Lie groups associated to this solution. This metric is geodesically complete if and only if the dual are unimodular. More generally, we show that any solution of the generalized Yang-Baxter equation on an orthogonal Lie group determines a left invariant locally symmetric pseudo-Riemannian metric on the corresponding dual Lie groups. Applying this result to oscillator Lie groups we get a large class of solvable Lie groups with flat left invariant Lorentzian metric.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 오실레이터 리 대수군에서 리 볼레르그 구조와 고전적 양-버터스터 방정식의 해를 분류하는 것.
• 직교 리 군에서 고전적 양-버터스터 방정식의 해와 그 이중군에서 평탄하고 좌불변인 의사리만노프 계량 사이의 기하학적 대응을 확립하는 것.
• 그러한 해가 이중 리 군이 유니모듈라일 때이고 그때에만 지오데식적으로 완전한 계량을 유도함을 보여주는 것.
• 이 결과를 일반화된 양-버터스터 방정식으로 확장하여, 해가 이중 군에서 국소적으로 대칭적인 의사리만노프 계량을 유도함을 보여주는 것.
• 이러한 결과를 오실레이터 군에 적용하여 평탄하고 좌불변인 루차티안 계량을 지닌 해소군의 큰 클래스를 생성하는 것.

제안 방법

• 기저 $\{e_{-1}, e_0, e_i, \check{e}_i\}$와 괄호 $[e_{-1}, e_j] = \lambda_j \check{e}_j$, $[e_{-1}, \check{e}_j] = -\lambda_j e_j$, $[e_j, \check{e}_j] = e_0$를 가진 오실레이터 리 대수 $\mathfrak{g}_\lambda$의 구조를 사용하며, $\lambda_i$는 엄격히 증가하고 $i<j<k$이면 $\lambda_k \neq \lambda_i + \lambda_j$이다.
• 서브스페이스 $S = \text{span}\{e_i, \check{e}_i\}$에 대해 $\omega(e_i, \check{e}_j) = \delta_{ij}$를 만족하는 심플렉틱 형식 $\omega$를 정의하고, $u,v \in S$에 대해 $[u,v] = \omega(u,v)e_0$로 정의한다.
• 심플렉틱 형식 $\omega$에 의한 쌍대 사상 $r\#$와 대칭 이차형식 $\omega_{r_1,r_2}$를 사용하여 고전적 양-버터스터 방정식 $[r,r] = 0$의 해 $r \in \wedge^2 \mathfrak{g}_\lambda$를 구성한다.
• 코배리언드 리 볼레르그 구조를 사용: 주어진 $r$에 대해 $\xi_r(u) = \text{ad}_u r$를 통해 이중 리 괄호 $[\alpha, \beta]_r^* = \xi_r(u)$를 정의하며, 이때 자코비 항등식이 성립하는 것은 $r$이 일반화된 양-버터스터 방정식을 만족할 때이다.
• 정리 1.3을 적용: 직교 리 군에서 고전적 양-버터스터 방정식의 해 $r$은 이중 군 $G^*$ 위에 평탄하고 좌불변인 의사리만노프 계량을 유도하며, 이 계량은 $G^*$가 유니모듈라일 때에만 지오데식적으로 완전하다.
• 이중 리 대수 $\mathfrak{g}_\lambda^*$가 $\mathbb{R}e_0^*$와 5차원 히젠베르크 이상 $\mathcal{I} = \text{span}\{e_0^*, e_1^*, \check{e}_1^*, e_2^*, \check{e}_2^*\}$의 세미직접곱과 동형이며, $\text{ad}_{e_0^*}$의 제한을 통해 작용하는 것으로 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 오실레이터 리 대수군 $\mathfrak{g}_\lambda$에서 리 볼레르그 구조와 고전적 양-버터스터 방정식의 해는 무엇인가?
• RQ2 직교 리 군에서 고전적 양-버터스터 방정식의 해 $r$은 그 이중 군 위에 어떻게 의사리만노프 계량을 유도하는가?
• RQ3 이중 군 위에 유도된 계량이 지오데식적으로 완전해지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 직교 리 군에서의 일반화된 양-버터스터 방정식은 이중 군에서 국소적으로 대칭적인 의사리만노프 계량을 생성할 수 있는가?
• RQ5 오실레이터 군에서의 해를 통해 평탄하고 좌불변인 루차티안 계량을 지닌 어떤 해소군의 클래스를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 오실레이터 리 군 $G_\lambda$에서 고전적 양-버터스터 방정식의 해 $r$이 존재할 경우, 이중 리 군 $G_\lambda^*$는 그 해에 의해 유도된 평탄하고 좌불변인 의사리만노프 계량을 지닌다.
• 이러한 계량은 $G_\lambda^*$가 유니모듈라일 때이고 그때에만 지오데식적으로 완전하다.
• 이중 리 대수 $\mathfrak{g}_\lambda^*$는 $\mathbb{R}e_0^*$와 5차원 히젠베르크 리 대수 $\mathcal{I}$의 세미직접곱과 동형이며, 작용은 $\text{ad}_{e_0^*}$의 $\mathcal{I}$에 대한 제한을 통해 주어진다.
• 리 대수 $\mathfrak{g}_\lambda$ 위의 고정된 루차티안 계량 $\mathbf{k}_\lambda$는 정리 1.3를 통해 $G_\lambda^*$ 위에 완전하고 평탄한 좌불변 루차티안 계량을 유도한다.
• 직교 리 군에서의 일반화된 양-버터스터 방정식은 해당 이중 리 군 위에 좌불변이고 국소적으로 대칭적인 의사리만노프 계량을 유도한다.
• 오실레이터 군에서의 해를 통해 평탄하고 좌불변인 루차티안 계량을 지닌 해소군의 큰 클래스를 구성할 수 있으며, 이 경우 $\text{Im}(r)$가 비어있더라도 $\mathfrak{g}_r^*$는 여전히 해소군임을 보여준다.