[논문 리뷰] Solvability of coupled FBSDEs with quadratic and superquadratic growth

Peng Luo, Ludovic Tangpi|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 제어 변수에서 이차 및 초이차 성장 조건을 갖는 결합된 정방향-역방향 스토케스 미분 방정식(FBSDE)에 대해 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 이는 마코프 케이스에서 유계가 아닌 종단 조건을 다루고, 비마코프 케이스에서는 말리아빈 미분 가능성과 가분성 조건을 통해 정규성 조건을 완화함으로써 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We derive two existence and uniqueness results for multi-dimensional and coupled systems of forward-backward SDEs when the generator of the backward equation may have quadratic growth in the control variable and the parameters of the forward equation are Lipschitz continuous. In the Markovian setting, we show existence and uniqueness in the superquadratic case for unbounded terminal conditions. This result extends to the non-Markovian case under a boundedness condition on the Malliavin derivative of the terminal conditio n and the generator. Furthermore, this condition can be dropped if the generator can be separated into a quadratic and a subquadratic part, and the terminal condition bounded. In this case the solution exist s on a small time interval.

연구 동기 및 목표

• 제어 변수에서 이차 성장 조건을 갖는 다차원 결합 FBSDE에 대해 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 마코프 가정 하에 초이차 성장 조건을 갖는 경우에 대해 기존 결과를 유계가 아닌 종단 조건으로 확장하는 것.
• 비마코프 설정에서 말리아빈 도함수의 유계성 제약 조건과 생성자에 대한 제약 조건을 도입함으로써 정규성 조건을 완화하는 것.
• 생성자가 이차 및 초이차 성분으로 분리 가능하고 종단 조건이 유계일 경우 말리아빈 도함수 조건을 제거할 수 있음을 보여주는 것.
• 일반적인 비마코프 케이스에서 가분성 및 유계성 가정 하에 국소 시간 간격에서의 존재성을 입증하는 것.

제안 방법

• 비마코프 생성자를 갖는 정방향-역방향 SDE 이론을 활용하고, 이차 및 초이차 성장 조건 하에서 사전 추정을 적용한다.
• 말리아빈 해석학을 적용하여 종단 조건과 생성자의 정규성을 제어함으로써 더 약한 가정 조건 하에서도 존재성 결과를 도출한다.
• 비마코프 케이스로의 존재성 확장을 위해 종단 조건과 생성자의 말리아빈 도함수에 대한 유계성 조건을 도입한다.
• 생성자를 이차 및 초이차 성분으로 분해하여, 종단 조건이 유계일 경우 말리아빈 도함수 요구 조건을 완화한다.
• 특히 일반 케이스의 국소 시간 간격에서 존재성과 유일성을 입증하기 위해 적절한 함수 공간 위에서 고정점 정리를 활용한다.
• 정방향 계수의 리프시츠 연속성과 역방향 성분의 성장 제어를 통해 잘 정의된 문제를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 변수에서 이차 성장 조건을 갖는 결합 FBSDE가 고유한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 마코프 설정 하에서 초이차 성장 생성자에 대해 유계가 아닌 종단 조건이 존재할 경우 존재성과 유일성이 확립될 수 있는가?
• RQ3 비마코프 케이스에서 말리아빈 도함수 조건은 어떻게 완화하거나 제거할 수 있는가?
• RQ4 생성자와 종단 조건에 대해 어떤 구조적 가정이 일반적인 비마코프 프레임워크에서 국소 시간 간격의 존재성을 가능하게 하는가?
• RQ5 생성자가 이차 및 초이차 성분으로 분리 가능할 경우, 해의 존재 조건에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 정방향 계수가 리프시츠 연속일 경우, 제어 변수에서 이차 성장 조건을 갖는 결합 FBSDE에 대해 존재성과 유일성이 확립된다.
• 마코프 케이스에서는 초이차 성장 조건과 유계가 아닌 종단 조건이 존재할 경우에도 존재성과 유일성 결과가 유지된다.
• 비마코프 케이스에서는 종단 조건과 생성자의 말리아빈 도함수에 대한 유계성 조건이 만족될 경우 해가 존재한다.
• 생성자가 이차 및 초이차 성분으로 분리 가능하고 종단 조건이 유계일 경우 말리아빈 도함수 조건을 제거할 수 있다.
• 위의 가분성 및 유계성 가정 하에 일반적인 비마코프 설정에서 작은 시간 간격 내에 고유한 해가 존재한다.
• 이러한 결과는 더 일반적인 성장 및 종단 조건의 구조를 갖는 결합 FBSDE에 대해 이전 연구를 일반화한다.