[論文レビュー] Solvability of Differential Riccati Equations and Applications to Algorithmic Trading with Signals

Fayçal Drissi|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、線形・指数的・2次ガウス型（LEQG）制御問題に現れる不定係数をもつ行列微分リッカティ方程式（DRE）の解の存在および一意性を確立する。この結果により、シグナルとベイズ的学習を用いた最適なアルゴリズム取引戦略が可能となり、ヘッジを伴うマルチアセット市場メイキングや、ドリフト推定を伴う最適実行戦略が実現される。

ABSTRACT

We study a differential Riccati equation (DRE) with indefinite matrix coefficients, which arises in a wide class of practical problems. We show that the DRE solves an associated control problem, which is key to provide existence and uniqueness of a solution. As an application, we solve two algorithmic trading problems in which the agent adopts a constant absolute risk-aversion (CARA) utility function, and where the optimal strategies use signals and past observations of prices to improve their performance. First, we derive a multi-asset market making strategy in over-the-counter markets, where the market maker uses an external trading venue to hedge risk. Second, we derive an optimal trading strategy that uses prices and signals to learn the drift in the asset prices.

研究の動機と目的

• 古典的結果ではカバーされていない不定行列係数をもつ行列微分リッカティ方程式（DRE）の解の存在および一意性を確立すること。
• DREの解を、2つのアルゴリズム取引問題に応用すること：シグナルと外部ヘッジを伴うマルチアセット市場メイキング、およびベイズ的学習による資産ドリフトの推定を伴う最適実行。
• DREの解から導かれる計算効率の良いフィードバック制御戦略を提供し、リアルタイム取引システムにおけるパフォーマンスを向上させること。
• 従来の実行戦略がモデルパラメータを事前に固定するという制限を克服し、オンライン学習による時間変動パラメータの更新を統合すること。
• 決定論的で時間に依存する行列係数および状態に依存する2次コスト項を許容することで、先行研究のDRE可解性に関する一般化を達成すること。

提案手法

• 確率的制御理論とハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を用いて、指数的ユーティリティと不定コスト行列をもつLEQG問題の最適制御を導出する。
• 価値関数に2次アンザッツを適用することで、HJB偏微分方程式（PDE）を行列係数に関する常微分方程式（ODE）の系に簡約する。
• 解が時間とともに有界かつ最大であることを示し、有限時間での爆発を矛盾として導くことで、導かれたDREの解の存在および一意性を証明する。
• Bergaultら（2018）と同様の近似技術を用いて、多次元オーナイズ・ウーレンバック過程下でのマルチアセット市場メイキング問題を扱う。
• DREの解から得られるゲイン行列を用いたフィードバック制御則を導出し、リアルタイムでの見積もり価格およびヘッジ計算を可能にする。
• 観測された価格とシグナルを用いたドリフトパラメータのベイズ更新を用い、オンライン学習を最適制御フレームワークに統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不定行列係数をもつ行列微分リッカティ方程式が、どのような条件下で一意な解をもつか。
• RQ2 このようなDREを用いて、シグナルと学習を伴うアルゴリズム取引における最適フィードバック制御をどのように導出できるか。
• RQ3 シグナルおよび過去の価格観測を統合することで、市場メイキングおよび実行戦略のパフォーマンスにどのような影響を与えるか。
• RQ4 提案手法は、固定パラメータ戦略に比べて最適実行においてどのように改善をもたらすか。
• RQ5 DREの解を用いて、店頭（OTC）市場における計算効率が良く、リアルタイムに実行可能な取引戦略を設計できるか。

主な発見

• DREの不定行列係数に対して、解行列がコンパクト集合内で有界であることを示し、矛盾による証明により、全時間区間における一意な解の存在が保証される。
• LEQG問題の最適制御は、DREの解から得られるフィードバックゲインを用いた線形フィードバック則の形をとる。
• マルチアセット市場メイキング問題において、本フレームワークはシグナル、クライアントのティアリング、外部ヘッジを統合し、大規模なポートフォリオに対するリスクバランスの取れた見積もりを可能にする。
• 最適実行において、観測された価格とシグナルに基づき、ドリフトパラメータを連続的にベイズ更新することで、パラメータ不確実性に対するロバストネスが向上する。
• DREの解により、最適見積もり価格およびヘッジレシオの効率的な数値計算が可能となり、ハイフリクエンシー取引におけるパフォーマンスにとって不可欠である。
• 価値関数は、DREの解を含む2次形式によって上から有界であることが示され、最適性の検証フレームワークが提供される。