[論文レビュー] Solvability of Langevin equations with two Hadamard fractional derivatives via Mittag-Leffler functions

Mohamed I. Abbas, Maria Alessandra Ragusa|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Mittag-Leffler関数と不動点定理を用いて、2つのハダマード分数階微分を含むランジュバン方程式の解の存在および一意性を確立する。問題を同等のボルテラ積分方程式に変換することで、シューディンガーの不動点定理を用いて解の存在を証明し、バナッハの収縮原理を用いて一意性を示す。非線形項および分数階パラメータに関する明示的な条件が提示される。

ABSTRACT

In this paper we discuss the solvability of Langevin equations with two Hadamard fractional derivatives. The method of this discussion is to study the solutions of the equivalent Volterra integral equation in terms of Mittag- Leffler functions. The existence and uniqueness results are established by using Schauder fixed point theorem and Banach fixed point theorem respectively. An example is given to illustrate the main results.

研究の動機と目的

• 複雑な媒体における古典的モデルを一般化する、2つのハダマード分数階微分を含むランジュバン方程式の可解性を調査すること。
• 既存の文献におけるギャップを埋めるために、Mittag-Leffler関数の観点から同等のボルテラ積分方程式を分析すること。
• ハダマール分数階微分と非線形源項を含む境界値問題の解の存在および一意性を確立すること。
• 重み付き関数空間における不動点定理を用いた、厳密な解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• ハダマール分数階積分および微分の性質を用いて、2項ハダマール分数階ランジュバン方程式を同等のボルテラ積分方程式に変換する。
• 解のカーネルを積分表現で表すために、特に $\mathbb{E}_{\alpha,\alpha}(\lambda(\ln t)^\alpha)$ を用いたMittag-Leffler関数を採用する。
• 重み付き空間 $C_{\gamma,\ln}([1,e],\mathbb{R})$ においてシューディンガーの不動点定理を適用し、少なくとも1つの解の存在を証明する。
• 非線形項にリプシッツ条件を課すことで、バナッハの不動点定理を用いて解の一意性を確立する。
• 積分作用素のバインドを導出するため、ベータ関数 $\mathbb{B}(a,b)$ およびガンマ関数 $\Gamma(a)$ を用いる。収縮条件を導く。
• 重み付き空間上に作用する作用素 $\mathcal{H}$ を定義し、$L\omega_2 < 1$ を満たす十分条件の下でそれが収縮作用素であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのハダマール分数階微分を含むランジュバン方程式が、少なくとも1つの解をもつための条件は何か？
• RQ2 このような系の解が一意となるのはいつか？また、非線形項のリプシッツ定数はどのような役割を果たすか？
• RQ3 Mittag-Leffler関数とハダマール分数階微分が、解構造をどのように特徴づけるか？
• RQ4 重み付き空間 $C_{\gamma,\ln}$ は、解作用素の収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 理論的結果は、計算可能なバインドを持つ明示的例を用いて検証可能か？

主な発見

• 非線形項が $L_1$ および $L_2$ を含む成長バインドを満たす条件の下で、シューディンガーの不動点定理を用いて少なくとも1つの解の存在が証明される。
• 非線形項がリプシッツ条件（定数 $L$）を満たす場合、$L\omega_2 < 1$ の条件下でバナッハの収縮原理により解の一意性が確立される。
• 例 $f(t,x) = \sin\left(\frac{1}{81}|x|\right) + \frac{1}{(1+t)^2}$ に対して、条件 $L_1\omega_2 \approx 0.377 < 1$ が満たされ、少なくとも1つの解の存在が確認される。
• 例 $f(t,x) = \frac{|x|}{(99+t^2)(1+|x|)}$ に対して、条件 $L\omega_2 \approx 0.306 < 1$ が満たされ、一意解の存在が確認される。
• Mittag-Leffler関数 $\mathbb{E}_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}(1)$ は約 5.573 に計算され、収縮定数のバインドに重要な役割を果たす。
• 一意性の証明における収縮係数を定量化するための導出式 $\omega_2 = \frac{\mathbb{B}(\beta,1-\gamma)\mathbb{E}_{\alpha,\alpha}(\lambda)}{\Gamma(\beta)}\left[\mathbb{B}(\alpha,1+\beta-\gamma) + \mathbb{B}(\alpha,\beta)\right]$ が得られている。