[論文レビュー] Solvability of the equation $AX=C$ for operators on Hilbert C*-modules

Vladimir Manuilov, Mohammad Sal Moslehian+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、部分等長作用素を用いてヒルベルト C*-加群における作用素方程式 $AX = C$ の可解性を調査し、$A$ が半正則である場合の一般解を提示する。主な貢献は、$AX = C$ が正の解をもつための必要十分条件の特徴付けである：$\mathcal{R}(C) \subseteq \mathcal{R}(A)$ かつある $t > 0$ に対して $CC^* \leq t\, CA^*$ が成り立つこと。また、$(P+Q)^{1/2}X = P$ の方程式について、一般には解が存在しないことを示す反例を提示し、摂動に関する結果も得ている。

ABSTRACT

Inspired by the Douglas lemma, we investigate the solvability of the operator equation $AX=C$ in the framework of Hilbert C*-modules. Utilizing partial isometries, we present its general solution when $A$ is a semi-regular operator. For such an operator $A$, we show that the equation $AX=C$ has a positive solution if and only if the range inclusion ${\mathcal R}(C) \subseteq {\mathcal R}(A)$ holds and $CC^*\le t\, CA^*$ for some $t>0$. In addition, we deal with the solvability of the operator equation $(P+Q)^{1/2}X=P$, where $P$ and $Q$ are projections. We provide a counterexample to show that there exists a $C^*$-algebra $\mathfrak{A}$, a Hilbert $\mathfrak{A}$-module $\mathscr{H}$ and projections $P$ and $Q$ on $\mathscr{H}$ such that the operator equation $(P+Q)^{1/2}X=P$ has no solution. Moreover, we give a perturbation result related to the latter equation.

研究の動機と目的

• 作用素 $AX = C$ の可解性を分析することにより、ヒルベルト C*-加群の設定にドーガスの補題を拡張すること。
• 作用素 $A$ が半正則である場合に、$AX = C$ の正の解の存在を特徴付けること。
• ヒルベルト C*-加群上の射影 $P$ と $Q$ に対して、方程式 $(P+Q)^{1/2}X = P$ の可解性を調査すること。
• 一般には解が存在しないことを示す反例を提示すること。
• 方程式 $(P+Q)^{1/2}X = P$ に対する摂動結果を確立すること。

提案手法

• 作用素 $A$ が半正則である場合に、部分等長作用素を用いて $AX = C$ の一般解を構成すること。
• 可解性の必要条件として、範囲包含 $\mathcal{R}(C) \subseteq \mathcal{R}(A)$ を適用すること。
• ある $t > 0$ に対して $CC^* \leq t\, CA^*$ を満たす不等式を、正の解の存在の十分条件として導入すること。
• ある $C^*$-代数 $\mathfrak{A}$ とヒルベルト $\mathfrak{A}$-加群 $\mathscr{H}$ において、反例を構成して $(P+Q)^{1/2}X = P$ が一般には解をもたないことを示すこと。
• 摂動技法を用いて、$(P+Q)^{1/2}X = P$ の解の安定性を、作用素の小さな変化の下で分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素 $A$ が半正則である場合、ヒルベルト C*-加群において方程式 $AX = C$ が正の解をもつための条件は何か？
• RQ2 この枠組みにおいて、部分等長作用素を用いて $AX = C$ の解を明示的に特徴付ける方法は何か？
• RQ3 ヒルベルト C*-加群上の射影 $P$ と $Q$ に対して、方程式 $(P+Q)^{1/2}X = P$ は常に解をもつか？
• RQ4 一般には解が存在しないことを示す反例を構成することは可能か？
• RQ5 射影 $P$ と $Q$ の小さな摂動の下で、$(P+Q)^{1/2}X = P$ の可解性はどのように変化するか？

主な発見

• 作用素 $A$ が半正則であるとき、方程式 $AX = C$ が正の解をもつための必要十分条件は、$\mathcal{R}(C) \subseteq \mathcal{R}(A)$ かつある $t > 0$ に対して $CC^* \leq t\, CA^*$ が成り立つことである。
• 作用素 $A$ が半正則である場合、部分等長作用素を用いて $AX = C$ の一般解を明示的に構成した。
• ある $C^*$-代数 $\mathfrak{A}$ とヒルベルト $\mathfrak{A}$-加群 $\mathscr{H}$ に対して、$(P+Q)^{1/2}X = P$ が解をもたないことを示す反例を提示した。
• ヒルベルト C*-加群上に射影 $P$ と $Q$ が存在しても、$(P+Q)^{1/2}X = P$ の解の存在は保証されない。
• 摂動結果を確立し、$P$ と $Q$ の小さな変化が、ある条件下で $(P+Q)^{1/2}X = P$ の可解性を保存することを示した。