[論文レビュー] Solving effectively some families of Thue Diophantine equations

Claude Lévesque, Michel Waldschmidt|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、次数 $ d \geq 4 $ の数体 $ K = \mathbb{Q}(\alpha) $ の単数の大きな部分集合に制限することにより、特定のクラスの Thue ディオファントス方程式の解に対して有効な上界を確立する。高さの上限と対数形式を用いて、$ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ を満たす解 $ (x, y, \varepsilon) $ が $ m $ の関数として有効に有界であることを証明し、$ \alpha $ とパラメータ $ \nu \in (0,1) $ に依存する明示的な指数を伴う。これは、単数の大きなクラスに関して、ある予想を解決する。

ABSTRACT

Let $α$ be an algebraic number of degree $d\ge 3$ and let $K$ be the algebraic number field $\Q(α)$. When $\varepsilon$ is a unit of $K$ such that $\Q(α\varepsilon)=K$, we consider the irreducible polynomial $f_\varepsilon(X) \in \Z[X]$ such that $f_\varepsilon(α\varepsilon)=0$. Let $F_\varepsilon(X,Y)$ be the irrreducible binary form of degree $d$ associated to $f_{\varepsilon}(X) $ under the condition $F_{\varepsilon}(X,1)=f_{\varepsilon}(X)$. For each positive integer $m$, we want to exhibit an effective upper bound for the solutions $(x,y,\varepsilon)$ of the diophantine inequation $|F_\varepsilon(x,y)|\le m$. We achieve this goal by restricting ourselves to a subset of units $\varepsilon$ which we prove to be sufficiently large as soon as the degree of $K$ is $\geq 4$.

研究の動機と目的

• 数体 $ K = \mathbb{Q}(\alpha) $ における単数 $ \varepsilon $ に関連する二変数形式 $ F_\varepsilon $ を用いた、$ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ の形の Thue ディオファントス方程式の解に対して有効な上界を確立すること。
• 条件 $ \mathbf{Q}(\alpha\varepsilon) = K $ の下で、解の有効な高さ上限に関する予想を、単数 $ \varepsilon $ の大きな部分集合に焦点を当てて証明すること。
• 立方体体における既存の結果を、新しいクラスの単数 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ を導入することにより、高次元体へと拡張すること。このクラスの単数は、ガロア共役のノルムが制御可能である。
• $ [K:\mathbb{Q}] \geq 4 $ のとき、集合 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ が単数群において正の密度を持つことを示し、これにより有効な上限が非自明かつ無限個の解に適用可能であることを保証すること。
• 解のサイズと対数高さが $ m $ のべき乗で有界になるように、明示的かつ計算可能な定数 $ \kappa_4, \kappa_5 $ を提供すること。

提案手法

• 単数 $ \varepsilon \in \mathbf{Z}_K^\times $ で、$ \mathbf{Q}(\alpha\varepsilon) = K $ を満たし、かつ2つの埋め込み $ \sigma_i, \sigma_j $ が $ |\sigma_i(\alpha\varepsilon)| = \|\alpha\varepsilon\| $ および $ |\sigma_j(\alpha\varepsilon)| \geq \|\alpha\varepsilon\|^\nu $ を満たすものとして、集合 $ \mathcal{E}_\nu^{(\alpha)} $ を定義する。
• 単数 $ \varepsilon \in \mathcal{E}_\nu^{(\alpha)} $ で、$ \varepsilon^{-1} \in \mathcal{E}_\nu^{(1/\alpha)} $ を満たすものとして、集合 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ を導入し、対称性を確保するとともに密度を向上させる。
• 単数群を $ \mathbb{R}^{r+1} $ における格子に写像する対数埋め込み $ \lambda: \mathbf{Z}_K^\times \to \mathbb{R}^{r+1} $ を用いる。ここで $ r $ は単数のランクである。
• ガロア共役におけるノルム条件を満たす単数を捉えるために、対数空間内に領域 $ D_\nu(M), D'_\nu(M), \tilde{D}_\nu(M) $ を定義する。
• $ d \geq 4 $ のとき、これらの領域が正の $ r $ 次元体積を持つことを証明し、これにより $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ が $ \mathcal{E}^{(\alpha)} $ において正の密度を持つことが示される。
• 線形対数形式の理論と高さの上限を応用し、$ \max\{|x|, |y|, e^{h(\alpha\varepsilon)}\} $ を $ m^{\kappa_5} $ の関数として明示的な上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単数 $ \varepsilon $ が $ \mathbf{Z}_K^\times $ の大きな部分集合を走るとき、Thue 方程式 $ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ の解 $ (x, y, \varepsilon) $ に対して有効な上界を確立できるか。
• RQ2 次数 $ \geq 4 $ の数体における単数の正の密度部分集合に対して、Thue 方程式の有効な高さ上限に関する予想は成り立つか。
• RQ3 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ の構造は何か。その単数群における正の性質が、有効な上限の導出にどのように寄与するか。
• RQ4 与えられた単数制限の下で、解 $ (x, y) $ のサイズと対数高さ $ h(\alpha\varepsilon) $ はパrameter $ m $ とどのように関係するか。
• RQ5 対数形式と体積推定を用いて、関連する体 $ \mathbf{Q}(\alpha\varepsilon) $ の次数が $ \geq 3 $ であるような Thue 方程式の族に対して、予想を検証できるか。

主な発見

• 任意の $ m \geq 2 $ に対して、$ 0 < |x| \leq |y| $ かつ $ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ を満たすすべての解 $ (x, y, \varepsilon) \in \mathbb{Z}^2 \times \mathcal{E}_\nu^{(\alpha)} $ は、$ \max\{|y|, e^{h(\alpha\varepsilon)}\} \leq m^{\kappa_4} $ を満たす。ここで $ \kappa_4 > 0 $ は有効に計算可能である。
• 任意の $ m \geq 2 $ に対して、$ xy \neq 0 $ かつ $ |F_\varepsilon(x, y)| \leq m $ を満たすすべての解 $ (x, y, \varepsilon) \in \mathbb{Z}^2 \times \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ は、$ \max\{|x|, |y|, e^{h(\alpha\varepsilon)}\} \leq m^{\kappa_5} $ を満たす。ここで $ \kappa_5 > 0 $ は有効に計算可能である。
• $ [K:\mathbb{Q}] \geq 4 $ のとき、集合 $ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)} $ は $ \mathcal{E}^{(\alpha)} $ において正の密度を持つ。これにより、上限が非自明かつ無限個の解に適用可能であることが保証される。
• 対数空間内の領域 $ D_\nu(M), D'_\nu(M), \tilde{D}_\nu(M) $ は $ d \geq 4 $ のとき正の $ r $ 次元体積を持つ。これは、無限個のこのような単数が存在することを示唆する。
• 証明は対数空間内での体積推定と単数群の構造に依存しており、$ \tilde{\mathcal{E}}_\nu^{(\alpha)}(e^M) $ 内の解の数が $ r $ が単数のランクであるとき、少なくとも $ M^r $ の速度で増加することを示している。
• 本結果は、立方体体における既存の研究を拡張し、特に $ d \geq 4 $ のとき、高次元体における自然で大きな単数のクラスに対して、予想を解決する。