[論文レビュー] Solving High-dimensional Linear Stochastic Partial Differential Equations via A Kernel-based Approximation Method

Qi Ye|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Numerical methods in engineering被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Lévyノイズによって駆動される、特に放物型SPDEsを、陰的エイラースキームを用いて楕円型SPDEの連立系に再定式化することで、高次元の確率的偏微分方程式（SPDEs）を解くためのカーネルベースのコロケーション法を提示する。この手法は、ランダム係数を有するカーネル展開として近似解を構築し、線形方程式系を解くことで実現され、充填距離に基づく確率的誤差境界を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we improve and complete the theoretical results of the kernel-based approx-imation (collocation) method for solving the high-dimensional stochastic partial differential equations (SPDEs) given in our previous papers. According to the extended theorems, we can use more general positive definite kernels to construct the kernel-based estimators to ap-proximate the numerical solutions of the SPDEs. Because a parabolic SPDE driven by Lévy noises can be discretized into serval elliptic SPDEs by the implicit Euler scheme at time. We mainly focus on how to solve a system of elliptic SPDEs driven by various kinds of right-hand-side random noises. The kernel-based approximate solution of the elliptic SPDEs is a linear combination of the positive definite kernel with the differential and boundary operators of the SPDEs centered at the chosen collocation points, and its random coefficients are obtained by solving a system of random linear equations, whose random parts are simulated by the elliptic SPDEs. Moreover, we introduce the error bounds – confident intervals – of the kernel-based approximate solutions of the elliptic (parabolic) SPDEs in terms of fill distances (or possible time distances) in the probability sense. We also give a well coding algorithm to compute the kernel-based solutions of the second-order parabolic SPDEs driven by time and space Poisson noises. The two-dimensional numerical experiments show that the approximate probability dis-tributions of the kernel-based solutions are well-behave for the Sobolev-spline kernels and the compact support kernels.

研究の動機と目的

• 一般の正定値カーネルを用いた高次元SPDEsに対するカーネルベース近似の理論的基盤を拡張・完成すること。
• 高次元における多様なランダムノイズ型が作用する楕円型SPDEの連立系を効率的に解く課題に対処すること。
• 確率的枠組みにおいて、充填距離または時間距離を用いたカーネルベース解の信頼区間を導出すること。
• 時間的および空間的ポアソンノイズを伴う2階放物型SPDEsに対する計算効率の高いアルゴリズムを開発すること。
• Sobolevスプラインおよびコンパクトサポートカーネルを用いた2次元実験を通じて、手法の数値的性能を検証すること。

提案手法

• Lévyノイズを伴う放物型SPDEsを、陰的エイラースキームを用いて複数の楕円型SPDEに離散化する。
• コロケーション点を中心とする正定値カーネルの線形結合としてカーネルベース近似を構築する。
• SPDEの微分および境界作用素をカーネル関数に作用させ、試験関数空間を構成する。
• コロケーション条件から導かれるランダムな線形方程式系を解くことで、ランダム係数を決定する。
• 線形方程式系のランダム成分を、対応する楕円型SPDEの数値解を用いてシミュレートする。
• 充填距離または時間距離に基づいて、近似解の確率的誤差境界（信頼区間）を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の正定値カーネルは、高次元SPDEsにおけるカーネルベースコロケーション法に効果的に適用可能か？
• RQ2 Lévyノイズによって駆動される放物型SPDEsは、時間離散化により楕円型SPDEに効率的に変換可能か？
• RQ3 充填距離を用いたカーネルベースSPDE解の確率的誤差境界は何か？
• RQ4 ポアソンノイズを伴うSPDEsにおいて、カーネル展開のランダム係数を効率的に計算する方法は何か？
• RQ5 高次元設定において、カーネルベース解は真の解の確率分布をどれほどよく近似するか？

主な発見

• 提案手法により、高次元SPDE近似に広範な正定値カーネルのクラスが活用可能になる。
• 充填距離に基づいたカーネルベース解の確率的誤差境界が導出され、近似解の信頼区間が提供される。
• 本手法は、ポアソンノイズを含む多様なランダムノイズ型を伴う楕円型SPDEの連立系を効果的に処理できる。
• 時間的および空間的ポアソンノイズを伴う2階放物型SPDEsの解を計算するための整合性の高いアルゴリズムが開発された。
• 2次元数値実験により、Sobolevスプラインおよびコンパクトサポートカーネルの両方において、カーネルベース解の近似確率分布が良好に振る舞うことが確認された。