[論文レビュー] Solving Linear Programs with Complementarity Constraints using Branch-and-Cut

Bin Yu, John E. Mitchell+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、補完制約に直接分岐するように設計された分枝切り出し法を用いて、線形補完制約計画問題（LPCC）を解くアルゴリズムを提示している。特別なカットと実行可能性回復手順を統合することで、MIP定式化に対するCPLEXを上回る性能を発揮し、25件のインスタンスのうち23件を3600秒以内に解消。特に400個までの補完制約を含む問題では、100変数インスタンスについて1分未満で解を得ており、優れた性能を示している。

ABSTRACT

A linear program with linear complementarity constraints (LPCC) requires the minimization of a linear objective over a set of linear constraints together with additional linear complementarity constraints. This class has emerged as a modeling paradigm for a broad collection of problems, including bilevel programs, Stackelberg games, inverse quadratic programs, and problems involving equilibrium constraints. The presence of the complementarity constraints results in a nonconvex optimization problem. We develop a branch-and-cut algorithm to find a global optimum for this class of optimization problems, where we branch directly on complementarities. We develop branching rules and feasibility recovery procedures and demonstrate their computational effectiveness in a comparison with CPLEX. The implementation builds on CPLEX through the use of callback routines. The computational results show that our approach is a strong alternative to constructing an integer programming formulation using big-$M$ terms to represent bounds for variables, with testing conducted on general LPCCs as well as on instances generated from bilevel programs with convex quadratic lower level problems.

研究の動機と目的

• 標準的なソルバでは非凸性のため困難である線形補完制約計画問題（LPCC）のグローバル解法を提供すること。
• 大規模MIP定式化に依存せず、補完制約そのものに直接分岐する分枝切り出しフレームワークを構築すること。
• 補完構造から導出された有効な不等式を用いて線形緩和を強化し、解法効率を向上させるとともに、実行可能性回復手順を統合すること。
• 一般のLPCCおよび凸二次下位問題を有する二段階計画問題において、CPLEXのMIPソルバを上回る計算的優位性を示すこと。
• 不実行性、非有界性、有限最適性を明確に証明できる、ロバストでグローバル収束性を有するLPCC用アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 大規模MIP定式化を避けるために、補完制約そのものに直接分岐する分枝切り出しフレームワークを採用。
• 補完構造から導出された有効不等式を用いて、線形緩和を強化。
• 分岐ルールは、各補完ペアにおいてどの変数がゼロとなるかに基づいて解空間を分割するように設計。
• 分枝限定法プロセス中における解の品質向上を目的に、実行可能性回復手順を統合。
• カスタムカットおよび分岐論理を統合するために、CPLEXのコールバックルーチンを活用。
• 一般のLPCCおよび凸二次下位問題を有する二段階計画問題からのインスタンスを用いて検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補完制約に直接分岐する分枝切り出し法は、LPCCに対して標準的なMIPソルバ（例：CPLEX）を上回る性能を発揮できるか？
• RQ2 補完制約から導出されるどの種類の有効不等式が、LPCCの線形緩和を最も効果的に強化するか？
• RQ3 特別な分岐ルールおよび実行可能性回復手順は、LPCCの解法時間をどれほど効果的に短縮できるか？
• RQ4 本アルゴリズムは、数100個の補完制約を含む大規模LPCCを実用的な時間制限内で信頼性高く解けるか？
• RQ5 大規模MIP定式化に起因する数値的不安定性や弱い緩和界を回避できるか、直接分岐アプローチはその点で優位性を示せるか？

主な発見

• 提案された分枝切り出し法は、25件のテストインスタンスのうち23件を3600秒以内に解消したのに対し、CPLEXは18件にとどまった。
• 25件のインスタンスのうち20件が360秒未満で解かれたが、CPLEXは同時間窓内で6件しか解けなかった。
• CPLEXが優れた性能を発揮したのは唯一1件のインスタンスにとどまり、本手法の優位性が一貫して確認された。
• 400個までの補完制約を含むインスタンスを正常に解消でき、スケーラビリティを示した。
• 100個の補完制約を含むインスタンスでは、1分未満で解が得られ、中規模問題における効率性が顕著に示された。
• 性能プロファイルから、本アルゴリズムは特に解法時間の下位尾部においてCPLEXを一貫して上回っていることが明らかになった。