[論文レビュー] Solving Multi-Coloring Combinatorial Optimization Problems Using Hybrid Quantum Algorithms

Young-Hyun Oh, Hamed Mohammadbagherpoor+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 37被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、変分量子固有値求解法（VQE）と量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）を組み合わせたハイブリッド量子古典的アプローチを提案し、NP困難なマルチカラー組合せ最適化問題を解く。グラフ彩色問題をイジングハミルトニアンにマッピングすることで、パラメータ化された量子回路による量子重ね合わせともつれを活用し、NISQデバイス上で多項式時間で最適解を達成する。実世界の応用としてフライトスケジューリングや周波数割り当ての3つの事例で成功裏に検証された。

ABSTRACT

The design of a good algorithm to solve NP-hard combinatorial approximation problems requires specific domain knowledge about the problems and often needs a trial-and-error problem solving approach. Graph coloring is one of the essential fields to provide an efficient solution for combinatorial applications such as flight scheduling, frequency allocation in networking, and register allocation. In particular, some optimization algorithms have been proposed to solve the multi-coloring graph problems but most of the cases a simple searching method would be the best approach to find an optimal solution for graph coloring problems. However, this naive approach can increase the computation cost exponentially as the graph size and the number of colors increase. To mitigate such intolerable overhead, we investigate the methods to take the advantages of quantum computing properties to find a solution for multi-coloring graph problems in polynomial time. We utilize the variational quantum eigensolver (VQE) technique and quantum approximate optimization algorithm (QAOA) to find solutions for three combinatorial applications by both transferring each problem model to the corresponding Ising model and by using the calculated Hamiltonian matrices. Our results demonstrate that VQE and QAOA algorithms can find one of the best solutions for each application. Therefore, our modeling approach with hybrid quantum algorithms can be applicable for combinatorial problems in various fields to find an optimal solution in polynomial time.

研究の動機と目的

• グラフサイズが増加するにつれて計算コストが指数関数的に増加するNP困難なマルチカラー組合せ最適化問題を古典的手法で解く際の課題に対処する。
• 近い将来のノイジィで中規模の量子（NISQ）デバイスを活用し、フライトスケジューリングや周波数割り当てなどの実世界の応用において解の探索を高速化する。
• 制約付きのグラフ彩色問題を、量子最適化に適したイジングハミルトニアン形式に変換するための体系的なフレームワークを開発する。
• 特にVQEとQAOAを用いたハイブリッド量子古典的アルゴリズムが、マルチカラー問題の最適解を効果的に見つけることの有効性を示す。
• 3つの実践的ケーススタディを通じて、現在の量子ハードウェアおよびシミュレータ上でスケーラビリティと信頼性を示す。

提案手法

• 硬い制約を伴う二値二次最適化問題としてマルチカラー組合せ最適化問題を定式化する。
• 問題固有の目的関数と制約ペナルティを用いて、最適化問題をイジングハミルトニアンにマッピングする。
• 初期量子状態を準備し、パラメータ化されたユニタリ操作を経て状態を進める。期待値を測定してエネルギーを最小化することで、変分量子固有値求解法（VQE）を実装する。
• パラメータ $\gamma$ と $\beta$ でパラメータ化された、$U_c(\gamma)$ と $U_B(\beta)$ の層を交互に配置した変分回路を用いて、量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）を適用する。これにより、イジングハミルトニアンの基底状態に近似する。
• 古典的最適化手法（例：COBYLA）を用い、ハミルトニアンの期待値を最小化するように、反復的に変分パラメータ $\gamma$ と $\beta$ を更新する。
• QAOA回路を、$n$ をキュービット数、$p$ を回路の深さとして、$O(n^2p)$ 個の単一キュービット回転ゲートと $O(n^2p)$ 個のCNOTゲートを用いて構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 VQE や QAOA といったハイブリッド量子アルゴリズムは、古典的コンピュータ上でNP困難であるマルチカラー組合せ最適化問題を効果的に解けるか？
• RQ2 回路の深さ $p$ が増加するにつれて、QAOAアルゴリズムはグラフ彩色問題から導出されたイジングハミルトニアンの基底状態をどの程度正確に近似できるか？
• RQ3 VQE や QAOA のフレームワークは、マルチカラー問題に対して、古典的厳密解法やヒューリスティック解法と比較して、計算時間をどの程度短縮できるか？
• RQ4 提案されたイジングモデル変換は、硬い制約（例：隣接するノードは異なる色で塗らなければならない）をハミルトニアン形式に信頼性高く符号化できるか？
• RQ5 フライトスケジューリング、周波数割り当て、レジスタ割り当てといった実世界の応用において、ハイブリッドアプローチのパフォーマンスはいかがなものか？

主な発見

• COBYLA最適化手法を用いたQAOAアルゴリズムは、3つのケーススタディすべてで最適解に収束し、強固さと信頼性を示した。
• 各ケーススタディにおいて、QAOAアルゴリズムは表4に示される解ベクトルによって確認されたように、完全に正確な色の割り当てを生成した。ノードはすべて衝突のない一意な色に割り当てられていた。
• VQE と QAOA の両アプローチは、大規模なグラフに対して古典的手法が通常示す指数関数的時間複雑性とは対照的に、多項式時間で最適解に到達した。
• 回路の深さ $p$ が増加するにつれて、QAOAアルゴリズムの近似比が向上し、$p \to \infty$ の極限では、イジングハミルトニアンの正確な基底状態に収束することが分かった。
• フライトスケジューリング、周波数割り当て、レジスタ割り当てといった実世界の応用が、量子シミュレータおよびNISQデバイスで解けるイジングモデルにうまくマッピングされた。
• 実装結果から、VQE と QAOA は複雑なマルチカラー問題を効果的に解けることが確認され、QAOAは保証された近似品質と最適解への収束を提供することが分かった。