[論文レビュー] Solving the Eikonal equation for compressional and shear waves in anisotropic media using peridynamic differential operator

Ali Can Bekar, Erdogan Madenci+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2021

Numerical methods in engineering参考文献 43被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、非局所的定式化と方向性重み付け、シーリングベースのホライズン統合を備えたペリダイナミック微分作用素（PDDO）を用いて、複雑な速度場、急激な不均一性、不規則な地形を有する異方性媒質におけるEikonal方程式を解く新しい数値手法を提案する。PDDOは上流仮定を必要とせず、一貫性のある解の挙動を保証し、特に困難な異方性モデルにおいて、高速スイーピング法（FSM）よりも参考解に近い結果をもたらす。

ABSTRACT

The traveltime of compressional (P) and shear (S) waves have proven essential in many applications of earthquake and exploration seismology. An accurate and efficient traveltime computation for P and S waves is crucial for the success of these applications. However, solutions to the Eikonal equation with a complex phase velocity field in anisotropic media is challenging. The Eikonal equation is a first-order, hyperbolic, nonlinear partial differential equation (PDE) that represents the high-frequency asymptotic approximation of the wave equation. The fast marching and sweeping methods are commonly used due to their efficiency in numercally solving Eikonal equation. However, these methods suffer from numerical inaccuracy in anisotropic media with sharp heterogeneity, irregular surface topography and complex phase velocity fields. This study presents a new method to solving the Eikonal equation by employing the peridynamic differential operator (PDDO). The PDDO provides the nonlocal form of the Eikonal equation by introducing an internal length parameter (horizon) and a weight function with directional nonlocality. The operator is immune to discontinuities in the form sharp changes in field or model variables and invokes the direction of traveltime in a consistent manner. The weight function controls the degree of association among points within the horizon. Solutions are constructed in a consistent manner without upwind assumptions through simple discretization. The capability of this approach is demonstrated by considering different types of Eikonal equations on complex velocity models in anisotropic media. The examples demonstrate its unconditional numerical stability and results compare well with the reference solutions.

研究の動機と目的

• 複雑な速度場を有する異方性媒質において、従来の高速移動法および高速スイーピング法（FMM/FSM）が示す数値的不安定性および不正確性を解消すること。
• 特別な処理や上流仮定を必要とせず、不連続性、急激な不均一性、不規則な表面地形を扱える堅牢な数値的手法の開発。
• 平均速度勾配と自動微分を用いたヤコビ行列の構築により、旅行時間の体系的かつ自動的な初期推定値の構築。
• P波およびSV波Eikonal方程式を、実際の異方性パラメータを有する縦断的等方性（TTI）および垂直等方性（VTI）媒質においてPDDO法がどのように解けるかを実証すること。

提案手法

• ペリダイナミック微分作用素（PDDO）を用いて、局所的Eikonal方程式を内部長さパラメータ（ホライズン）と方向性重み関数を導入することで、非局所的積分微分形式に変換する。
• PDDOはホライズン内での積分により空間微分を計算し、速度やモデルパラメータの不連続性に対しても一貫性のある数値微分を可能にする。
• 特徴的な波動伝播方向に基づく方向性非局所性を自然に組み込む、単純な非上流型有限差分離散化を採用する。
• 重み付き最小二乗近似を用いてPDDOを導出し、カーネル関数による点同士の関連付けを制御することで、安定性と精度を確保する。
• 各ステップでヤコビ行列を自動微分により計算するニュートン型反復法を用いて解を逐次更新する。
• 本手法は、Thomsenの異方性パラメータを用いて定義された位相速度場を有するTTIおよびVTI媒質におけるP波およびqSV波Eikonal方程式に適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PDDO法は、複雑な速度場や急激な不均一性を有する状況において、従来のFMMおよびFSMと比較して、より正確かつ安定したEikonal方程式の解を提供できるか？
• RQ2 PDDOは、上流スキームや特別な数値的処理を要せず、速度モデルの不連続性や不規則な表面地形をどのように処理するか？
• RQ3 PDDOの非局所的性質が、多値旅行時間や三重化を示す状況（例：qSV波伝搬）において、解の精度をどの程度向上させるか？
• RQ4 PDDO法は、手動による調整を要せず、体系的に初期旅行時間推定値を生成できるか？また、これにより収束性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 PDDO法の計算コストとスケーラビリティはいかほどか？特に3次元においては、高性能コンピューティング向けに効率的に並列化可能か？

主な発見

• BP TTIモデルにおいて、PDDO法は残差誤差が3.17×10⁻³未満に抑えられ、FSMと比較して一様に小さい絶対誤差を示し、優れた精度を実証した。
• qSV波VTIモデルにおいて、t=0.63 sにおけるPDDO解は、低ランク近似の参考解とよく一致しており、数値的拡散の影響を受けても主要な旅行時間枝を捉えていた。
• 強い異方性（ε=0.4、δ=0.2）および傾いた縦断的等方性（θ=40°）の下でも、PDDO解は安定かつ正確であり、FSMの誤差指標を上回った。
• 上流ステンシルや人工的安定化を必要とせず、複雑で非一様な速度勾配と急激な不均一性を有するモデルにおいても、旅行時間を正しく計算できた。
• PDDOアプローチはGPUベースの並列処理に本質的に適しており、3次元応用において顕著な高速化が期待できるが、2次元ではFMM/FSMを上回る計算コストを要する可能性がある。
• ヤコビ行列の計算に自動微分を用いることで、手動のチューニングを要せず、堅牢かつ体系的な解の更新が可能になった。