[論文レビュー] Solving the signed Roman domination and signed total Roman domination problems with exact and heuristic methods

Vladimir Filipović, Dragan Matić+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2022

Constraint Satisfaction and Optimization被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2つの整数線形プログラミング（ILP）定式化、制約プログラミング（CP）、可変近傍探索（VNS）を用いて、符号付きローマン支配問題（SRDP）と符号付き全ローマン支配問題（STRDP）を解く正確法およびヒューリスティック法を提案する。ILPモデルは他の手法を上回り、小規模・中規模のインスタンスの多くで最適解を発見する。特にNew1 ILPモデルはグリッドグラフおよび再帰的インスタンスで優れた性能を示す。

ABSTRACT

In this paper we deal with the signed Roman domination and signed total Roman domination problems. For each problem we propose two integer linear programming (ILP) formulations, the constraint programming (CP) formulation and variable neighborhood search (VNS) method. We present proofs for the correctness of the ILP formulations and a polyhedral study in which we show that the polyhedrons of the two model relaxations are equivalent. VNS uses specifically designed penalty function that allows the appearance of slightly infeasible solutions. The acceptance of these solutions directs the overall search process to the promising areas in the long run. All proposed approaches are tested on the large number of instances. Experimental results indicate that all of them reach optimal solutions for the most of small and middle scale instances. Both ILP models have proven to be more successful than the other two methods.

研究の動機と目的

• グラフにおける符号付きローマン支配問題（SRDP）および符号付き全ローマン支配問題（STRDP）を解く際の計算的課題に対処すること。
• これらのNP困難問題に対して、正確法とヒューリスティック法を複数開発・比較し、解の品質と効率を向上させること。
• 整数プログラミング、制約プログラミング、可変近傍探索の有効性をベンチマークインスタンス上で確立すること。
• グリッド、二部グラフ、ランダム、再帰的グラフを含む多様なグラフタイプにおける提案手法の性能を評価すること。
• すべての手法における解の品質、最適差、計算時間の包括的比較を実施すること。

提案手法

• SRDPおよびSTRDPのための2つの新規整数線形プログラミング（ILP）定式化を提案し、正しさの形式的証明およびその緩和のポリトープ的同等性を示す。
• 制約プログラミング（CP）は、支配関数を変数にマッピングし、問題の条件から直接制約を導出することで適用する。
• 可変近傍探索（VNS）は、頂点ペアの値を増加または減少させることで解空間を探索する構造化された近傍変更メカニズムを用いる。
• カスタムペナルティ関数により、わずかに非妥当な解を受理することで局所最適解からの脱出と有望領域への探索を促進する。
• VNS手法は解の品質に応じて近傍を動的に調整し、局所探索の効率を向上させる。
• すべての手法は、文献から得た352インスタンスの大きなベンチマークセット上で評価された。このセットには、二部グラフ、グリッド、平面グラフ、ランダム、再帰的グラフなど、さまざまなグラフクラスが含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様なグラフインスタンスにおいて、異なる正確法およびヒューリスティック法は、符号付きローマン支配問題（SRDP）および符号付き全ローマン支配問題（STRDP）をどの程度効果的に解けるか？
• RQ2 2つのILP定式化は、最適性および計算効率の観点でCPおよびVNSをどの程度上回るか？
• RQ3 ペナルティ関数を備えた提案されたVNSは、特に大規模インスタンスにおいて解空間を効果的に探索し、高品質な解を発見できるか？
• RQ4 さまざまなグラフタイプ、特にスケーラビリティおよび解の品質の観点で、各手法の性能はどのようになるか？
• RQ5 モデル構造および定式化の違いは、ILP緩和のポリトープ的性質および解の品質にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 2つのILPモデルは最適性の観点でCPおよびVNSを上回り、SRDPでは352インスタンス中287例、STRDPでは352インスタンス中262例の最適解を発見した。
• SRDPにおいては、VNSが241の最良解を発見し、CPが209例を発見したが、両方のILPモデルは顕著に優れた性能を示した。
• STRDPにおいては、New1 ILPモデルがグリッドグラフの171インスタンス中169例の最適解を達成し、構造的インスタンスにおいて優れた性能を示した。
• 再帰的グラフにおいては、ILPモデルが7例中全7例の最適解を発見したが、VNSおよびCPはそれぞれ4例ずつにとどまった。
• 大規模インスタンス（100以上頂点）、特に二部グラフおよびランダムグラフにおいて、時間制限およびメモリ制限の下でもILPモデルが優位な性能を維持した。
• 大規模インスタンスにおいてVNSはCPを上回り、より良い平均解を発見し、ほとんどのグラフタイプで平均計算時間を低く維持した。