[論文レビュー] Solving Two Dimensional H(curl)-elliptic Interface Systems with Optimal Convergence On Unfitted Meshes

Ruchi Guo, Yanping Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非適合メッシュ上で2次元マクスウェル界面問題を解くために、最低次のネデレック要素を用いたH(curl)-適合埋め込み有限要素（IFE）法を提案する。界面における不連続条件を弱く強制する特別なIFE関数を構築し、標準ネデレック関数を試験関数とするペトロフ・ガレルキン型定式化を採用することで、H(curl)ノルムにおいて最適収束率を達成することが、解析および数値実験により検証された。

ABSTRACT

In this article, we develop and analyze a finite element method with the first family Nédélec elements of the lowest degree for solving a Maxwell interface problem modeled by a $\mathbf{H}( ext{curl})$-elliptic equation on unfitted meshes. To capture the jump conditions optimally, we construct and use $\mathbf{H}( ext{curl})$ immersed finite element (IFE) functions on interface elements while keep using the standard Nédélec functions on all the non-interface elements. We establish a few important properties for the IFE functions including the unisolvence according to the edge degrees of freedom, the exact sequence relating to the $H^1$ IFE functions and the optimal approximation capabilities. In order to achieve the optimal convergence rates, we employ a Petrov-Galerkin method in which the IFE functions are only used as the trial functions and the standard Nédélec functions are used as the test functions which can eliminate the non-conformity errors. We analyze the inf-sup conditions under certain conditions and show the optimal convergence rates which are also validated by numerical experiments.

研究の動機と目的

• 非適合メッシュ上でH(curl)-楕円型界面問題に対して最適収束を達成する有限要素法の開発。界面に適合する三角形分割を回避する。
• 材料界面を越えて電場および回転成分（curl成分）の不連続条件を弱く満たすH(curl)-適合埋め込み有限要素関数の構築。
• マクスウェル方程式の文脈において、IFE関数の一意存在性、正確な系列性、および最適近似能力の確立。
• 標準ネデレック関数を試験関数として用いるペトロフ・ガレルキン定式化により、非適合誤差を排除し、最適収束率を証明すること。

提案手法

• 界面でない要素では最低次の第一族ネデレック要素（エッジ要素）を用い、界面要素では不連続条件を捉えるために特別なH(curl)-適合IFE関数を構築する。
• IFE関数は、界面における電場の接線成分の連続性および磁束密度（curl成分）の法線成分の連続性を、界面の不連続条件に基づいて弱く満たすように設計される。
• IFE関数を試行関数とし、標準ネデレック関数を試験関数とするペトロフ・ガレルキン枠組みを採用することで、非適合誤差が排除され、最適収束が達成される。
• 幾何的分解を用いて界面要素をストリップに分割し、各ストリップに局所的なフレドリッヒス型不等式を適用可能にする。
• 幾何的推定、トレース不等式、および界面位置に依存しないストリップ数の有界性に依拠した解析により、安定性および最適近似性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H(curl)-適合有限要素法は、非適合メッシュ上でマクスウェル界面問題に対して最適収束率を達成できるか？
• RQ2 エッジ自由度を保持しつつ、不連続条件を弱く満たすIFE関数は、どのように構築可能か？また、正確な系列性と一意存在性を保つことができるか？
• RQ3 非適合メッシュ上でのIFE試行関数を用いる場合、ペトロフ・ガレルキン定式化が非適合誤差をどのように排除するか？
• RQ4 界面要素の幾何的分解におけるストリップ数は、界面位置に依存せず一様に有界に保たれるか？これによりロバスト性が保証されるか？
• RQ5 離散問題のインフラ条件を確立するにはどのような条件が必要か？これにより問題の適切な定式化および最適収束が保証されるか？

主な発見

• 提案されたIFE関数はエッジ自由度に関して一意存在性を有し、離散空間が適切に定義されることを保証する。
• IFE関数はH1-適合IFE関数と正確な系列を形成し、有限要素空間の重要な構造的性質を保持する。
• H(curl)ノルムにおいて最適収束率が達成され、解のL2ノルム誤差はhに比例し、H(curl)半ノルム誤差もhに比例する。
• 幾何的パrameter δ1およびδ2の下界により、界面要素の幾何的分解におけるストリップ数は界面位置に依存せず一様に有界である。
• メッシュおよび界面幾何に関する一定の仮定の下でインフラ条件が確立され、離散問題の適切な定式化が保証される。
• 数値実験により理論的収束率が確認され、非適合メッシュ上での本手法の最適性能が検証された。