[論文レビュー] Some algebraic invariants of edge ideal of circulant graphs

Giancarlo Rinaldo|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$n$ が素数である場合の巡回グラフ $C_n(S)$ の辺イデアルの代数的不変量について考察する。 Cohen-Macaulay 条件の下で正則性指数および Castelnuovo-Mumford 正則性を計算し、$C_n(\{1,\ldots,s\})$ が逐次 $S_2$ であることを証明し、Krull次元 2 の Cohen-Macaulay 巡回グラフを完全に特徴づけ、組合せ論的およびホモロジー論的手段を用いてその Cohen-Macaulay 型と正則性を計算する。

ABSTRACT

Let $G$ be the circulant graph $C_n(S)$ with $S\subseteq\{ 1,\ldots,\left \lfloor\frac{n}{2} ight floor\}$ and let $I(G)$ be its edge ideal in the ring $K[x_0,\ldots,x_{n-1}]$. Under the hypothesis that $n$ is prime we : 1) compute the regularity index of $R/I(G)$; 2) compute the Castelnuovo-Mumford regularity when $R/I(G)$ is Cohen-Macaulay; 3) prove that the circulant graphs with $S=\{1,\ldots,s\}$ are sequentially $S_2$ . We end characterizing the Cohen-Macaulay circulant graphs of Krull dimension $2$ and computing their Cohen-Macaulay type and Castelnuovo-Mumford regularity.

研究の動機と目的

• 巡回グラフの辺イデアルの代数的不変量（特に Castelnuovo-Mumford 正則性、Cohen-Macaulay 型、正則性指数）を研究すること。
• Krull次元 2 の Cohen-Macaulay 巡回グラフを特徴づけ、その主要な不変量を計算すること。
• $n$ が素数のとき、巡回グラフ $C_n(\{1,\ldots,s\})$ が逐次 $S_2$ であることを確立すること。
• グラフ的性質、特に補グラフ $\bar{G}$ を通じて、$R/I(G)$ のホモロジー的不変量との関係を明らかにすること。

提案手法

• Stanley-Reisner 対応を用いて、辺イデアル $I(G)$ をグラフ $G$ の独立複体 $\Delta(G)$ と関連付ける。
• Hochster の公式を適用し、誘導部分複体の単体的ホモロジーを用いてベッチ数を計算する。
• 補グラフ $\bar{G}$（これも巡回的である）を用いて、$\Delta(G)$ の構造を分析する。
• $(n$ が素数であるという事実を活用して、$\Delta(G)$ の $k$-スケルトンの連結性を示し、$S_2$ 性の結果を得る。
• $h$-ベクトルとオイラー標数を用いて、Cohen-Macaulay 型と正則性を計算する。
• Auslander-Buchsbaum の公式を用いて、最小自由分解における深さとベッチ数の関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$ が素数のとき、$R/I(G)$ の正則性指数は何か？
• RQ2 $R/I(G)$ が Cohen-Macaulay であるのはいつか？ その場合の Castelnuovo-Mumford 正則性は何か？
• RQ3 $n$ が素数のとき、どの巡回グラフ $C_n(S)$ に対して $R/I(G)$ が逐次 $S_2$ となるか？
• RQ4 Krull次元 2 の Cohen-Macaulay 巡回グラフはどれか？ その Cohen-Macaulay 型と正則性は何か？
• RQ5 次元 2 の Cohen-Macaulay 巡回グラフが Gorenstein であるのはいつか？

主な発見

• $n$ が素数のとき、$R/I(G)$ の正則性指数は 1 である。
• $R/I(G)$ が Cohen-Macaulay である場合、その Castelnuovo-Mumford 正則性は正則性指数に等しく、それは 1 である。
• $n$ が素数のとき、巡回グラフ $C_n(\{1,\ldots,s\})$ は逐次 $S_2$ である。
• Krull次元 2 の Cohen-Macaulay 巡回グラフに対して、Castelnuovo-Mumford 正則性は 2 である。
• このようなグラフの Cohen-Macaulay 型は、$n$ が奇数のとき $\binom{n}{2} - n(s+1) + 1$、$n$ が偶数で $\frac{n}{2} \in S$ のとき $\binom{n}{2} - n(s + \frac{1}{2}) + 1$ である。
• 次元 2 の Cohen-Macaulay 巡回グラフが Gorenstein であるのは、その補グラフが $n \geq 4$ で、$n$-サイクルであり、欠落辺 $i$ に対して $\gcd(n,i) = 1$ を満たすとき、かつそのときに限りそうなる。