[論文レビュー] Some analysable instances of mu-synthesis

N. J. Young|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2012

Advanced Algebra and Logic参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、演算子理論と複素幾何学を用いて、ロバスト制御における$μ$-合成問題の特殊ケースの検証可能可解条件を提示する。$2\times2$ 行列の補間問題に対して、スペクトル半径または構造的特異値制約を満たす明示的条件を確立し、特に、対称化された二重円板$Γ$と四面体ブロック領域$Ε$を用いて、スペクトルネヴァンリンナ-ピック問題およびカラテオドリ-フェージェル問題の$μ$-類似問題を解く。

ABSTRACT

I describe a verifiable criterion for the solvability of the 2 by 2 spectral Nevanlinna-Pick problem with two interpolation points, and likewise for three other special cases of the mu-synthesis problem. The problem is to construct an analytic 2 by 2 matrix function F on the unit disc subject to a finite number of interpolation constraints and a bound on the cost function sup {mu(F(z)): |z| < 1}, where mu is an instance of the structured singular value of a 2 by 2 matrix.

研究の動機と目的

• ロバスト制御における$μ$-合成問題の可解性を解析的に取り扱える基準を構築すること、特に$2\times2$ 行列関数に対して。
• 古典的補間理論（例：ネヴァンリンナ-ピック）を、構造的特異値制約を伴う行列値関数へと拡張すること。
• $μ$-合成問題を、対称化された二重円板$Γ$および四面体ブロック$Ε$の幾何学と結びつけることにより、レムペルト関数およびカラテオドリ距離を用いた解析的解法を可能にすること。
• $μ$-合成における数値的不安定性を、明示的な境界を用いて不適切に条件付けられたケースを同定することで緩和すること。
• 数値的手法のための検証可能な条件を提供し、一般$μ$-合成における理論的困難さを明確にすること。

提案手法

• スレーブのトレースと行列式を座標として用い、$2\times2$ 行列のスペクトルネヴァンリンナ-ピック問題を、対称化された二重円板$Γ$上の補間問題に還元する。
• アグラーらの結果を活用し、$Γ$上でのレムペルト関数およびカラテオドリ距離を用いて、補間関数を特徴付ける。
• カイラテオドリ距離を計算し、可解条件を導出するために、'魔法関数' $Φ_\omega$ の概念を適用する。
• 構造的特異値$μ$ を伴う$μ$-合成問題を、$\{ (x^1,x^2,x^3) \in \mathbb{C}^3 : 1 - x^1 z - x^2 w + x^3 z w \neq 0 \text{ for } |z|,|w| \leq 1 \}$で定義される四面体ブロック$Ε$上の補間問題に変換する。
• 一般の補間問題を、ある点が$(0,0,\lambda)$ となるように、$Ε$の自己同型を用いて簡略化する。
• 四面体ブロックにおけるシュワルツの補題を適用し、$F(0) = V_0$, $F'(0) = V_1$ を満たす$μ$-類似カイラテオドリ-フェージェル問題の可解基準を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位円板上での$2\times2$ 解析的行列関数$F$が存在するための条件は何か？ そのとき$F(\lambda_1) = W_1$, $F(\lambda_2) = W_2$, かつすべての$\lambda \in \mathbb{D}$に対して$r(F(\lambda)) \leq 1$を満たす。
• RQ2 構造的特異値$μ$ に等しい$μ$-合成問題は、四面体ブロック$Ε$上の補間問題に還元可能か？ また、特殊ケースにおける可解条件は何か？
• RQ3 四面体ブロック$Ε$上でのレムペルト関数とカイラテオドリ距離の関係は何か？ これにより一般の可解基準が得られるか？
• RQ4 特定の$μ$-合成問題がなぜ数値的不安定性を示すのか？ また、補間パrameterの境界を用いてこれを定量的に評価できるか？
• RQ5 対称化された二重円板$Γ$および四面体ブロック$Ε$の幾何学を用いて、$μ$-合成問題の明示的かつ検証可能な可解条件を導出できるか？

主な発見

• 相異なる二つの補間点$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{D}$およびスペクトル半径が1未塔の$2\times2$ 行列$W_1, W_2$に対して、可解性は、$\lambda_1, \lambda_2$ の交比と、$W_1, W_2$ のトレースおよび行列式に関する有理関数を含む鋭い不等式と同値である。
• 可解条件は、$W_1, W_2$ のトレースおよび行列式と、$\omega \in \mathbb{T}$ をパラメータとする、$2\times2$ 行列値関数が単位円上で非負であることに等しい。
• カイラテオドリ-フェージェル問題の$μ$-類似問題において$F(0) = \begin{bmatrix} 0 & \zeta \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ および $F'(0) = [v_{ij}]$ であるとき、解が存在するための必要十分条件は、$\max\{|v_{11}|, |v_{22}|\} + |\zeta v_{21}| \leq 1$ である。
• パラメータ$a = b = p = \frac{1}{2}$ の場合、$F(\lambda_0) = (a,b,p)$ を満たす$μ$-合成問題の解$F_\zeta$ は、$\zeta \neq 0$ のとき$|\lambda_0| \geq \frac{2}{3}$ で、$\zeta = 0$ のとき$|\lambda_0| \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ でしか存在しない。これは中間領域における不適切に条件付けられた性質を示している。
• 四面体ブロック$Ε$上では、レムペルト関数とカイラテオドリ距離が一致する。この結果は、一般の点対に対するレムペルト関数の計算に将来役立つ可能性がある。
• 本稿では四面体ブロックにおけるシュワルツの補題を確立し、$Ε$の原点における補間点が1つの場合の可解基準を提供した。これは、今後の解析の基盤をなす。