[논문 리뷰] Some approximation properties of bivariate Bleimann-Butzer and Hahn operators based on (p,q)-integers

M. Mursaleen, Md. Nasiruzzaman|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 24.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $(p,q)$-정수를 사용하여 Bleimann-Butzer-Hahn 연산자의 새로운 이변량 일반화를 제안하며, 코로브킨 유형의 근사 정리와 연속성 모듈러스 및 리프시츠 유형 최대 함수를 통한 수렴 속도를 도출한다. 주요 기여는 고전적 근사 연산자를 더 일반적인 $(p,q)$-미적분 프레임워크로 확장하고 명시적인 오차 한계를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

Recently, Mursaleen et al applied (p,q)-calculus in approximation theory and introduced (p,q)-analogue of Bernstein operators in [16]. In this paper, we construct and introduce a generalization of the bivariate Bleimann-Butzer-Hahn operators based on (p,q)-integers and obtain Korovkin type approximation theorem of these operators. Furthermore, we compute the rate of convergence of the operators by using the modulus of continuity and Lipschitz type maximalfunctions.

연구 동기 및 목표

• 고전적 이변량 Bleimann-Butzer-Hahn 연산자를 더 유연한 근사화를 위한 $(p,q)$-정수 프레임워크로 확장하기.
• 시험 함수 $e_{ij} = \left(\frac{u}{1+u}\right)^i\left(\frac{v}{1+v}\right)^j$ 를 사용하여 새로운 $(p,q)$-이변량 연산자에 대한 코로브킨 유형 근사 정리 수립하기.
• 연속성 모듈러스와 일반화된 리프시츠 유형 최대 함수를 사용하여 수렴 속도 분석하기.
• 더 일반적인 $(p,q)$-미적분 프레임워크를 통합하여 기존의 $q$-미적분 기반 근사 연산자를 일반화하기.

제안 방법

• $(p,q)$-정수와 $(p,q)$-이항 전개를 사용하여 이변량 연산자 $L^{(p_{n_1},p_{n_2}),(q_{n_1},q_{n_2})}_{n_1,n_2}(f;x,y)$ 를 구성한다.
• $(p,q)$-오일러 항등식의 유사체를 적용: $\prod_{s=0}^{n-1}(p^s + q^s x) = \sum_{k=0}^n p^{\frac{(n-k)(n-k-1)}{2}} q^{\frac{k(k-1)}{2}} \left[\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right]_{p,q} x^k$.
• $i,j = 0,1,2$ 에 대해 시험 함수 $e_{ij}$ 에 대한 수렴을 검증함으로써 코로브킨 정리를 적용한다.
• 수렴 속도를 추정하기 위해 연속성 모듈러스 $\omega(f;\delta)$ 와 리프시츠 유형 최대 함수를 사용한다.
• 횔더 부등식을 통해 $\delta_{n_i}(x)$, $[n_i]_{p_{n_i},q_{n_i}}$, 및 $\gamma_i$ 매개변수를 포함하는 추정치를 이용하여 오차 한계를 유도한다.
• 점근적 수렴 한계를 $|L(f;x,y) - f(x,y)| \leq M \left(\frac{[n_1]_{p,q}}{c_{n_1}+\gamma_1}\right)^{\alpha_1} \cdots + M\delta_{n_1}^{\alpha_1/2}(x)\delta_{n_2}^{\alpha_2/2}(y)$ 형태로 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 이변량 Bleimann-Butzer-Hahn 연산자는 $(p,q)$-정수를 사용하여 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 제안된 $(p,q)$-이변량 연산자에 대한 코로브킨 유형 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 연속성 모듈러스와 리프시츠 유형 함수에 대해 $(p,q)$-이변량 연산자의 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ4 $(p,q)$-프레임워크는 기존의 $q$-기반 근사 연산자에 비해 어떤 방식으로 향상되는가?
• RQ5 이러한 새로운 연산자를 사용하여 연속 함수의 점근적 근사에 대해 명시적인 오차 한계를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 시험 함수 $e_{ij}$ 에 대한 코로브킨 조건을 만족할 경우, 제안된 $(p,q)$-이변량 Bleimann-Butzer-Hahn 연산자는 $\mathbb{R}^2_+$ 상에서 함수 $f$ 로 균일 수렴한다.
• 수렴 속도는 $O\left(\left(\frac{[n_1]_{p,q}}{c_{n_1}+\gamma_1}\right)^{\alpha_1} \left(\frac{\gamma_1}{[n_1]_{p,q}}\right)^{\alpha_1} \cdots \right)$ 로 추정되며, 이는 $n_i$, $\gamma_i$, 및 $[n_i]_{p,q}$ 에 의존함을 보여준다.
• 오차 한계에 포함된 $\delta_{n_i}^{\alpha_i/2}(x)$ 항은 더 부드러운 함수에서 향상된 수렴을 나타낸다.
• 횔더 부등식의 사용은 $u$ 와 $v$ 에 대한 개별 연산자 근사의 곱을 포함하는 복합 오차 한계 유도를 가능하게 한다.
• bound $|L(f;x,y) - f(x,y)| \leq M \left(\frac{[n_1]_{p,q}}{c_{n_1}+\gamma_1}\right)^{\alpha_1} \cdots + M\delta_{n_1}^{\alpha_1/2}(x)\delta_{n_2}^{\alpha_2/2}(y)$ 는 $n_i$ 와 부드러움 매개변수에 대한 명시적 의존성을 확인하며 점근적 수렴을 확인한다.
• 이 프레임워크는 $q$-미적분 기반 연산자를 일반화하며, $p=1$ 인 경우에 $q$-버전이 특수한 경우로 회복된다.