[論文レビュー] Some classifications of \infty-Harmonic maps between Riemannian manifolds

Ze-Ping Wang, Ye‐Lin Ou|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド空間、球面、Nil空間およびSol空間を含むリーマン多様体間の線形および2次の∞-調和写像を分類する。また、複素ユークリッド空間間の全純∞-調和写像についても扱う。全純∞-調和写像は、直交射影と斉次写像の合成であることが証明され、エネルギー密度と勾配の条件を用いて、p→∞の極限における完全な特徴付けがなされる。

ABSTRACT

$\infty$-Harmonic maps are a generalization of $\infty$-harmonic functions. They can be viewed as the limiting cases of p-harmonic maps as p goes to infinity. In this paper, we give complete classifications of linear and quadratic $\infty$-harmonic maps from and into a sphere, quadratic $\infty$-harmonic maps between Euclidean spaces. We describe all linear and quadratic $\infty$-harmonic maps between Nil and Euclidean spaces, between Sol and Euclidean spaces. We also study holomorphic $\infty$-harmonic maps between complex Euclidean spaces.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間、球面、Nil空間およびSol空間を含むリーマン多様体間の線形および2次の∞-調和写像を分類すること。
• 複素ユークリッド空間間の全純∞-調和写像を特徴付け、その構造的形を特定すること。
• エネルギー密度が定数でない写像へと∞-調和写像の分類を調和関数の範囲を越えて拡張すること。
• ∞-調和写像、水平に斉次な写像、およびp→∞の極限におけるp-調和写像との関係を確立すること。

提案手法

• エネルギー密度|dφ|²を用いて、∞-調和写像をτ∞(φ) = ½ dφ(grad|dφ|²) = 0として定義する。
• 局所座標計算を用いて、∞-調和条件を各成分αについてg(grad φα, grad|dφ|²) = 0の形に表現する。
• ∞-調和関数と水平に斉次な写像の間の同値性を用い、既知のこのような写像の分類を活用する。
• 複素空間間の全純写像が実部と虚部のL²ノルムが等しいことを利用し、∞-調和条件を単純化する。
• p-調和写像のモルフィズムに関する結果とp→∞の極限を応用し、全純∞-調和写像が水平に斉次でなければならないことを示す。
• ユークリッド空間間の水平に斉次な写像の分類を用いて、全純∞-調和写像の形を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面およびユークリッド空間間の線形および2次写像の中で、∞-調和となるものはどれか？
• RQ2 球面からまたは球面への∞-調和写像の完全な類は何か？また、エネルギー密度の定数性とどのように関係するか？
• RQ3 Nil空間とユークリッド空間、Sol空間とユークリッド空間の間の∞-調和写像はどのように振る舞うか？
• RQ4 複素ユークリッド空間間の全純写像が∞-調和となるための条件は何か？
• RQ5 全純∞-調和写像は、射影と斉次写像の観点から完全に特徴付けられるか？

主な発見

• 球面からまたは球面へのすべての線形および2次の∞-調和写像は完全に分類され、非定数エネルギー密度を持つ写像は特定の対称的ケースに限る。
• ユークリッド空間間の2次∞-調和写像は完全に特徴付けられ、対称的2次形式が∞-調和条件を満たす場合に解が得られる。
• Nil空間とユークリッド空間、Sol空間とユークリッド空間の間の∞-調和写像は、すべて線形または2次写像として分類され、特定の対称性および勾配制約を満たす。
• 全純∞-調和写像φ: ℂ^m → ℂ^nは、その実部と虚部がそれぞれ∞-調和であるときにかつそのときに限り∞-調和であり、問題は成分ごとの解析に帰着される。
• 非定数の全純∞-調和写像φ: ℂ^m → ℂは、φ(z₁,…,zₘ) = λzᵢ + z₀の形、すなわち直交射影と斉次写像の合成である。
• 分類により、全純∞-調和写像は必ず水平に斉次であることが確認され、p→∞の極限におけるp-調和モルフィズムと関連づけられる。