[論文レビュー] Some Cobweb Posets Digraphs' Elementary Properties and Questions

A. K. Kwaniewski|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2008

Advanced Graph Theory Research被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、コブウェブposetの理論を拡張し、フェルファース次元1の二部有向グラフの自然結合によって得られる自然に階数付けられた有向無閉路グラフ（KoDAG）として、拡張コブウェブposetを導入する。完全コブウェブposetおよび型別k-ary関係の数え上げに関する組合せ論的公式を、多項係数および第二種スターリング数を用いて確立し、順序付き分割および全単射に対応する主要な結果を提示する。

ABSTRACT

A digraph that represents reasonably a scheduling problem should be a directed acyclic graph. Here down we shall deal with special kind of graded $DAGs$ named $KoDAGs$. For their definition and first primary properties see $ [1]$, where natural join of directed biparted graphs and their corresponding adjacency matrices is defined and then applied to investigate cobweb posets and their $Hasse$ digraphs called $KoDAGs$. In this report we extend the notion of cobweb poset while delivering some elementary consequences of the description and observations established in $[1]$.

研究の動機と目的

• 元のフレームワークを超えてコブウェブposetを一般化し、自然に階数付けられたKoDAGとして拡張コブウェブposetを導入すること。
• インcidエンス構造のレヴィグラフの系列への自然結合演算の適用可能性を調査すること。
• レベルサイズおよび分割に基づき、完全コブウェブposetおよびk-ary関係の数え上げに関する組合せ論的公式を導出すること。
• 頂点集合の順序付き分割に定義された部分順序を持つ階数付きposetの構造および列挙を調査すること。
• 与えられたサイズNのk段階コブウェブposetに対応する全単射および順序付き分割の数を特定すること。

提案手法

• 拡張コブウェブposetを、フェルファース次元1の二部有向グラフ（di-bicliques）$\stackrel{\rightarrow}{K_{k,k+1}}$の自然結合として定義する。
• 部分有向グラフの隣接行列に対する自然結合演算$\oplus\!\to$を用いて、全KoDAG隣接行列を構成する。
• 二部有向グラフのためのバイアドジェセンシー行列表現を用い、$B$がブール行列であり$A = \begin{pmatrix} 0 & B \\ B^T & 0 \end{pmatrix}$であることを適用する。
• クライマー積および行列の幾何級数を用いて、ゼータ行列を$\zeta = (1 - \mathbf{A}_F)^{-1\copyright}$としてモデル化する。
• サイズ$N$を$k$個のブロック（サイズ$f_r$）に分割する順序付き分割の数え上げに多項係数$\binom{N}{f_1, f_2, ..., f_k}$を用いる。
• 第二種スターリング数$\left\{N \atop k\right\}$およびそれらが全単射に与える関係を用いて、k段階コブウェブposetの列挙を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コブウェブposetに用いられる自然結合演算を、インシデント構造のレヴィグラフの系列へ拡張できるか。
• RQ2 サイズ$N = \sum f_r$および型$\langle f_1, f_2, ..., f_k \rangle$を持つ完全コブウェブposetの数は何か。
• RQ3 $|V| = N$および$|V_r| = f_r$を満たすk段階階数付きposet $P_N = \langle V, \leq \rangle$の数は何か。
• RQ4 サイズ$N$の集合上での型$\langle f_1, ..., f_k \rangle$のk-ary関係の総数は何か。
• RQ5 $k = 1, ..., N$のすべての型$\langle f_1, ..., f_k \rangle$について、任意の型の階数付きposet $P_N$の総数は何か。

主な発見

• 型$\langle f_1, f_2, ..., f_k \rangle$の完全コブウェブposetの数は、多項係数$\binom{N}{f_1, f_2, ..., f_k}$に等しい。
• サイズ$N$のk段階完全コブウェブposetの数は$k! \left\{N \atop k\right\}$に等しく、$N$要素集合から$k$要素集合への全単射の数に等しい。
• サイズ$N$の完全コブウェブposetの総数は$T_N = \sum_{k=1}^N k! \left\{N \atop k\right\}$に等しく、$N$要素集合の順序付き分割の数に等しい。
• 型$\langle f_1, ..., f_k \rangle$のk-ary関係の数は$2^{f_1 f_2 \cdots f_k} - 1$に等しく、レベル集合のカルテシアン積の空でない部分集合を表す。
• サイズ$N$のすべての型についてのk-ary関係の総数は$\sum_{\substack{f_1+\cdots+f_k=N \\ f_r > 0}} \left(2^{f_1 f_2 \cdots f_k} - 1\right)$に等しい。
• F-分類のコブウェブposetのゼータ行列は、幾何級数$\zeta = (1 - \mathbf{A}_F)^{-1\copyright}$で与えられ、ここで$\mathbf{A}_F$はハッセ行列である。