[論文レビュー] Some explicit solutions to the Riemann-Hilbert problem

Philip Boalch|ArXiv.org|Jan 26, 2005

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 30被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、四つ穴あき球面上のランク2のフックス型系について、モノドロミー群が二面体的四面体群、八面体群、および三角形群Δ₂₃₇とΔ₂₃₈に対応するリーマン–ヒルベルト問題の明示的解を構成する。等モノドロミー変形とプルッッセ展開を用いて、第六パンルベ方程式に対する新しい代数的解を導出し、特に16分岐の genus-zero 解と、Δ₂₃₇ に対して2つの genus-one 解を得た。対称関数とパデ近似を用いた明示的パラメトライゼーションが得られた。

ABSTRACT

Explicit solutions to the Riemann-Hilbert problem will be found realising some irreducible non-rigid local systems. The relation to isomonodromy and the sixth Painleve equation will be described. Keywords: Riemann-Hilbert problem, Painleve equations, algebraic solutions, Heun equations, tetrahedral/octahedral group, triangle groups, Belyi maps.

研究の動機と目的

• 四つ穴あき球面上の非可縮、非剛性局所系に対するリーマン–ヒルベルト問題を明示的に解くこと。
• フックス型系の等モノドロミー変形を用いて、第六パンルベ方程式（PVI）に対する新しい代数的解を構成すること。
• モノドロミー群Δ₂₃₇、Δ₂₃₈、二面体的四面体群、八面体群を分類し、明示的なパラメトライゼーションを提供すること。
• シュワルツの古典的超幾何的方程式の代数的解に関するリストを、ランク2フックス型系へと拡張すること。
• 対称関数とパデ近似を用いた計算的手法を開発し、プルッセ展開から多項式微分方程式を再構成すること。

提案手法

• 等モノドロミー変形理論を用い、リーマン–ヒルベルト問題を第六パンルベ方程式（PVI）に結びつける。PVIはフックス型系のモノドロミーを保つ変形を記述する。
• 特異点におけるプルッセ展開を適用し、局所的解を計算することで、局所パラメータのスケーリングにより体拡大の次数を低減する。
• プルッセ展開の対称関数を用いて、微分方程式の係数多項式の有理数係数を再構成する。
• パデ近似（Mapleのconvert(ratpoly)を用いて）を用い、切り捨てられたローラン級数をグローバルな有理関数に変換する。
• オカモト対称性を活用し、微分方程式の係数に対称性を課すことにより、計算の複雑さを低減する。
• 代数的数論とガロア共役性を用い、最適なプルッセ展開を選択し、得られる多項式方程式を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二面体的四面体群や八面体群に属するモノドロミーを持つリーマン–ヒルベルト問題に対して、どのような明示的代数的解が存在するか？
• RQ2 三角形群Δ₂₃₇およびΔ₂₃₈に対して、第六パンルベ方程式の新しい解を構成可能か。特に分岐数の多い解が得られるか？
• RQ3 PVIにおける genus-zero 解で、最大で何分岐まで可能か。また、このような解はモノドロミー群Δ₂₃₈を介して実現可能か？
• RQ4 同じ抽象群（例：Δ₂₃₇）をPSL₂(ℂ)に異なる埋め込み方をすることで、PVIの同値でない解が得られるか？
• RQ5 プルッセ展開から多項式微分方程式を再構成する際の最適な計算戦略は何か？

主な発見

• 本稿ではPVIに対して5つの新しい八面体群解を構成した。そのうち1つは16分岐の genus-one 解であり、現在知られている最大の genus-zero 解である。
• Δ₂₃₇のモノドロミー群を持つ2つの新しい genus-one 解が得られ、それぞれがPSL₂(ℂ)への異なる埋め込みに対応している。
• 16分岐解は、モノドロミー群Δ₂₃₈に対応する解と同値であることが示され、PVIの文脈において、これらの三角形群間に双対性が存在することを示した。
• 24分岐のイコサヘドロン解が、キタイエフの解とオカモト変換で関係付けられないことが確認され、7次元の元の異なる共役類から得られる同値でない解の存在を裏付けた。
• プルッセ展開から得た多項式微分方程式が、対称関数による再構成とパデ近似によって整数係数に正確に再構成された。
• 3番目の同値でないΔ₂₃₇解は、s, t, uに関する有理関数として明示的に与えられ、θ = (4/7, 4/7, 4/7, 1/3)であることが確認され、代数的性とモノドロミー構造が裏付けられた。