[論文レビュー] Some formulae for products of Fubini polynomials with applications

Levent Kargın|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2016

Advanced Mathematical Identities被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、母関数および積分変換を用いて、Fubini多項式およびFubini数の新しい明示的公式を導出し、p-Bernoulli数およびApostol-Bernoulli関数の新たな閉形式表現をもたらす。Fubini多項式の積の和および積分に関する恒等式を確立し、一般化された二項型恒等式およびBernoulli数を含む積分公式を含む。数論および解析学における特殊関数への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper we evaluate sums and integrals of products of Fubini polynomials and have new explicit formulas for Fubini polynomials and numbers. As a consequence of these results new explicit formulas for p-Bernoulli numbers and Apostol-Bernoulli functions are given. Besides, integrals of products of Apostol-Bernoulli functions are derived.

研究の動機と目的

• 母関数技法を用いて、Fubini多項式およびFubini数の新しい明示的公式を導出すること。
• Fubini数を含む古典的二項恒等式（例：∑(n choose k)Fk = 2Fn）を、異なるパラメータを持つFubini多項式の積へ一般化すること。
• Bernoulli数を用いて、Fubini多項式の積の積分表現を確立すること。
• 変換恒等式を用いて、p-Bernoulli数およびApostol-Bernoulli関数へ結果を拡張すること。
• Apostol-Bernoulli関数の新たな閉形式表現およびその積の積分を提供すること。

提案手法

• 指数型母関数 ∑Fn(x;y)tn/n! = ext / (1 − y(et − 1)) を用いて、二変数Fubini多項式を定義する。
• 母関数における微分および係数比較を用いて、再帰的および畳み込み型恒等式を導出する。
• 部分積分および単項式とFubini多項式の積に対する既知の積分恒等式を適用する。
• Stirling数の第一および第二種を含む行列逆行列技法を用いて、和の恒等式を証明する。
• 変数変換を用いて、既知の恒等式をp-BernoulliおよびApostol-Bernoulli関数の新しい形に変換する。
• 多項式の積分恒等式に y = λ/(1−λ) を代入し、Apostol-Bernoulli関数と関連付けることで、積分公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 母関数および積分変換を用いて、Fubini多項式の新たな明示的公式はどのように導出可能か？
• RQ2 古典的二項恒等式 ∑(n choose k)Fk = 2Fn は、異なるパラメータを持つFubini多項式の積へどのように一般化可能か？
• RQ3 区間 [−1, 0] における2つのFubini多項式の積の積分は何か？また、それはBernoulli数とどのように関係するか？
• RQ4 結果はどのようにp-Bernoulli数およびApostol-Bernoulli関数へ拡張可能か？
• RQ5 Apostol-Bernoulli関数の積に対して、新たな積分恒等式はどのように導出可能か？

主な発見

• Fubini多項式の新たな明示的公式が導出された：y ≠ −1/2 のとき、Fn(y) = ∑(k=0 to n) {n choose k} k! y^k [2^{n+1}(y+1)^k + (−1)^{k+1}] / (2y+1)^{k+1}。
• p-Bernoulli数に関して、B_{2n−1,p} = (p+1)/p ∑(k=0 to 2n−1) {2n−1 choose k+1} (−1)^{k+1} (k+1)! / (k+p+1) および B_{2n,p} についても同様の公式が得られた。
• 一般化された二項型恒等式が証明された：(y+1) ∑(k=0 to n) (n choose k) Fk(y) Fn−k(y) = Fn+1(y) + Fn(y)。
• 積分恒等式が確立された：m ≥ 0, n ≥ 1 のとき、∫_{−1}^0 Fm(y) Fn(y) dy = (−1)^m ∑(j=0 to m) (m choose j) B_{n+j}。
• Apostol-Bernoulli関数の新たな公式が導出された：λ ≠ ±1 のとき、B_{n+1}(λ)/(n+1) = ∑(k=0 to n) {n choose k} k! (−λ)^k [2^{n+1}λ^k + (λ−1)^{k+1}] / (λ^2−1)^{k+1}。
• 2つのApostol-Bernoulli関数の積の積分が与えられた：∫_{−∞}^0 Bm(λ) Bn(λ) dλ = (−1)^m (m+1)(n+1) ∑(j=0 to m) (m choose j) B_{n+j}。