[論文レビュー] Some functional inequalities for the fractional p-sub-Laplacian

Aidyn Kassymov, Durvudkhan Suragan|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、同次リー群上の分数階 $p$-部分ラプラシアンに対して、分数階ソボレフ、ハーディー、およびリャプノフ型不等式を確立し、古典的不等式を部分リーマン的設定へ一般化する。主な貢献は、領域の内部準半径とハア測度を用いて、ディリクレ型分数階 $p$-部分ラプラシアンの第一固有値に対する鋭い下界を、重み付きノルム推定と補間技法を用いて導出することにある。

ABSTRACT

In this paper we study the fractional Dirichlet p-sub-Laplacian in a Haar measurable set on homogeneous Lie groups. We prove fractional Sobolev and Hardy inequalities and we also present a Lyapunov-type inequality for the fractional p-sub-Laplacian. As a consequence of the Lyapunov-type inequality we show an estimate of the first eigenvalue in a quasi-ball for the Dirichlet fractional p-sub-Laplacian.

研究の動機と目的

• 同次リー群の部分リーマン的設定へ、古典的分数階ソボレフおよびハーディー不等式を拡張すること。
• ディリクレ境界条件を満たす分数階 $p$-部分ラプラシアンに対するリャプノフ型不等式を導出すること。
• 領域の幾何的および解析的性質を用いて、準球内での分数階 $p$-部分ラプラシアンの第一固有値を推定すること。
• 同次次元 $Q$ を持つ非ユークリッド的設定である同次群へ、重み付きおよび重みなし関数不等式を一般化すること。

提案手法

• 同次リー群 $\mathbb{G}$ 上の同次準ノルム $q$ を用いた特異積分を介して、分数階 $p$-部分ラプラシアンを定義する。
• 重み付き $L^p$ ノルムとハア測度を用いて、ギャラルディョ半ノルム $[u]_{s,p,q}$ および分数階ソボレフ空間 $W^{s,p,q}(\Omega)$ を定義する。
• 適切に選ばれた指数 $\alpha$ および $\theta$ を用いたホルダーの不等式により、重み付き $L^p$ ノルムをギャラルディョ半ノルムおよび重み $\omega$ の $L^\theta$ ノルムと関連付ける。
• ソボレフ埋め込み定理（定理 2.5）およびハーディー型不等式（定理 2.9）を適用し、$L^{p^*}$ ノルムを半ノルムで上から抑える。
• 非自明な弱解の存在を仮定して、内部準半径 $r_{\Omega,q}$ を用いて、$\omega$ の $L^\theta$ ノルムの下界を推定することで、リャプノフ型不等式を導出する。
• リャプノフ不等式に $\omega = \lambda$ を代入し、$\theta > Q/(sp)$ の範囲で最適化することで、第一固有値の推定を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ユークリッド的構造を持つ同次リー群の設定において、古典的分数階ソボレフ不等式を拡張することは可能か？
• RQ2 同次群上の $p$-部分ラプラシアンに対する分数階ハーディー不等式の鋭い形は何か？
• RQ3 有界領域における分数階 $p$-部分ラプラシアンに対して、リャプノフ型不等式をどのように確立できるか？
• RQ4 幾何的および解析的道具を用いて、分数階 $p$-部分ラプラシアンの第一固有値に対する下界をどのように導出できるか？
• RQ5 領域の内部準半径およびハア測度は、分数階 $p$-部分ラプラシアンの第一固有値にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿では、同次次元 $Q$、$p$、$s$ に依存する定数を持つ、同次リー群上での分数階ソボレフ不等式を証明している。
• $p$-部分ラプラシアンに対して、分数階ハーディー不等式が確立され、古典的結果が部分リーマン的設定へ拡張された。
• リャプノフ型不等式が導出された：$\|\omega\|_{L^\theta(\Omega)} \geq \frac{C}{r_{\Omega,q}^{sp - Q/\theta}}$（$\theta > Q/(sp)$）。ここで $C$ は $Q$、$p$、$s$、$q$ に依存する。
• ディリクレ型分数階 $p$-部分ラプラシアンの第一固有値 $\lambda_1$ は、$\lambda_1 \geq \sup_{Q/(sp)<\theta<\infty} \frac{C}{|\Omega|^{1/\theta} r_{\Omega,q}^{sp - Q/\theta}}$ を満たす。
• この推定はハア測度 $|\Omega|$ および内部準半径 $r_{\Omega,q}$ に依存しており、領域が小さいか、半径が大きいほど $\lambda_1$ の下界が強くなることが示された。
• 幾何的（半径）および測度論的（体積）的特徴を両方組み込んだことで、既知の固有値推定が鋭く改善された。