[論文レビュー] Some Geometric and Topological Properties of a New Sequence Space Defined by De la Vallee-Poussin Mean

Necip Şi̇mşek, Ekrem Savaş+1 more|ArXiv.org|Oct 10, 2009

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、de la Vallée-Poussin平均を用いた新しい系列空間を導入し、Luxemburgノルム下でのその幾何学的・位相的性質を調査する。空間がKadec-Klee性質およびタイプ$p$のBanach-Saks性質を有することを確立し、新たに定義されたモジュラー系列空間枠組みにおいて強い幾何学的構造を示している。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to introduce a new sequence space by using de la Vallee-Poussin mean and investigate both the modular structure with some geometric properties and some topological properties with respect to the Luxemburg norm.

研究の動機と目的

• de la Vallée-Poussin平均を用いた新しいパラノルム系列空間を定義し、その幾何学的・位相的構造を分析すること。
• 空間$V_{\rho}(\nu;p)$のモジュラー構造とLuxemburgノルム下でのその性質を調査すること。
• モジュラー空間$V_{\rho}(\lambda;p)$がKadec-Klee性質を有することを確立し、単位球面上での弱収束列がノルム収束することを保証すること。
• 空間$V_p(\lambda)$がタイプ$p$のBanach-Saks性質を満たすことの証明により、弱零系列の平均における強い収束性を示すこと。
• 空間$V_{\rho}(\lambda;p)$がLuxemburgノルム下でバナッハ空間であることを示し、完備性とノルム構造を保証すること。

提案手法

• ブロック$I_k$上での平均$\frac{1}{\lambda_k}\sum_{j \in I_k} |x(j)|$を用いて、de la Vallée-Poussin平均による系列空間$V(\lambda;p)$を定義する。
• モジュラー$\rho$を$\rho(x) = \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{\lambda_k} \sum_{j \in I_k} |x(j)| \right)^p$として定義し、これによりノルム構造を誘導する。
• すべての$x$について$\rho(\lambda x) \to 0$（$\lambda \to 0^+$のとき）を満たす集合としてモジュラー空間$V_{\rho}(\lambda;p)$を構成し、Luxemburgノルム$||x||_L = \inf \{ \lambda > 0 : \rho(x/\lambda) \leq 1 \}$を備える。
• 成分ごとの収束と座標関数の連続性を用いて、弱収束を空間内での成分収束に関連付ける。
• 弱収束下で$\rho(x_n) \to \rho(x)$および単位球面上でのノルム収束の性質を用い、Kadec-Klee性質を証明する。
• 弱零系列の部分列を構成し、ブロック分解を用いて部分和の$L^p$型ノルムを評価し、Banach-Saksタイプ$p$性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 de la Vallée-Poussin平均を用いて定義された系列空間$V(\lambda;p)$は、Luxemburgノルム下でKadec-Klee性質を有するか？
• RQ2 モジュラー空間$V_{\rho}(\lambda;p)$は、Luxemburgノルム下でバナッハ空間か？
• RQ3 空間$V_p(\lambda)$は、タイプ$p$のBanach-Saks性質を満たすか？
• RQ4 弱収束とノルム収束の関係は、$V_{\rho}(\lambda;p)$において、特に単位球面上でどのように成り立つか？
• RQ5 この新しい空間の幾何学的性質は、既知のCesároやOrlicz型系列空間とどのように比較できるか？

主な発見

• 空間$V_{\rho}(\lambda;p)$はKadec-Klee性質を有し、単位球面上の任意の弱収束列がノルム収束することを意味する。
• モジュラー空間$V_{\rho}(\lambda;p)$は、凸モジュラーから導かれるノルム構造の完備性により、Luxemburgノルム下でバナッハ空間であることが示された。
• 空間$V_p(\lambda)$はタイプ$p$のBanach-Saks性質を満たし、弱零系列の適切な部分列$(b_j)$に対して$\left\| \sum_{j=0}^n b_j \right\|_{V_p(\lambda)} \leq 2(n+1)^{1/p}$が成り立つ。
• Luxemburgノルム$||x||_L$は$||x||_L \leq ||x||_A \leq 2||x||_L$を満たし、LuxemburgノルムとAmemiyaノルムの同値性が確認された。
• 任意の$B(V_p(\lambda))$内の弱零系列$(x_n)$に対して、部分和が高々$(n+1)^{1/p}$の割合で増加する部分列$(b_j)$を構成でき、これによりBanach-Saksタイプ$p$性質が確認された。
• モジュラー空間における$x_n$のモジュラー収束は、ある$\lambda > 0$に対して$\rho(\lambda(x_n - x)) \to 0$と同値であり、これにより収束性の挙動を分析した。