[論文レビュー] Some geometric aspects of variational problems in fibred manifolds

Demeter Krupka|ArXiv.org|Oct 2, 2001

Advanced Differential Geometry Research参考文献 23被引用数 66

ひとこと要約

本稿は、ファイブラー多様体における変分法の幾何学的定式化を提示し、1次ジェット拡大上に定義されたラグランジアン関数への注目を集中している。不変微分形式およびLepagian形式を用いて、オイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、リー微分を用いて臨界的セクションおよび対称性を特徴づける。物理数学における場の理論のためのきめ細かな基礎を提供するが、不変性および幾何的構造に重点を置いている。

ABSTRACT

This work contains an exposition of foundations of the variational calculus in fibered manifolds. The emphasis is laid on the geometric aspects of the theory. Especially functionals defined by real functions (Lagrange functions) or differential forms (Lagrangian forms) on the first jet prolongation of a given fibered manifold are studied. Critical points (critical cross sections) of the functionals are examined and the Euler equations for them are derived in a completely invariant manner. The first variation formula is derived by means of the so-called Lepagian forms. All variations appearing in the theory are generated by vector fields. Jet prolongations of projectable vector fields are defined. The Euler form, associated with a given Lagrange function (of Lagrangian form) is introduced by means of the Euler equations of the calculus of variations. Necessary and sufficient conditions for the vanishing of the Euler form are stated in terms of differential forms and their exterior differential. The corresponding conditions for a Lagrange function leading to identically vanishing Euler equations are given. Some special Lepagian forms are studied. Classes of symmetries of a variational problem are defined. Invariant, generalized invariant, and symmetry transformations are characterized in terms of the Lie derivatives. The variational problem with prescribed symmetry transformations is formulated, and necessary and sufficient conditions for its solutions are studied. The geometrical aspects of the so-called generally covariant variational theories are studied. Definitions and theorems are well adapted to the situation in physical field theories.

研究の動機と目的

• ファイブラー多様体における変分問題の幾何学的かつ不変な枠組みを確立すること。
• ジェット拡大上に定義されたラグランジアン関数または形式による関数への臨界的セクションを分析すること。
• 微分形式を用いて完全に不変な方法でオイラー＝ラグランジュ方程式を導出すること。
• リー微分および不変変換を用いて対称性および保存則を特徴づけること。
• 一般相対性理論に適合する場の理論に適した幾何学的基盤を提供すること。

提案手法

• 射影可能ベクトル場のジェット拡大を用いて、変分設定における変動を生成する。
• Lepagian形式を適用して、不変的かつ幾何学的に第一変分公式を導出する。
• 外微分法を用いて臨界点を特徴づけるために、ラグランジアンに付随するオイラー形式を導入する。
• リー微分を用いて不変、一般化不変、および対称変換を定義し分類する。
• 外微分を用いてオイラー形式の消滅に対する必要十分条件を導出する。
• 特別なLepagian形式を研究して、変分問題の構造およびその対称性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイブラー多様体上の変分問題に対して、完全に不変的かつ幾何学的にオイラー＝ラグランジュ方程式をどのように導出できるか？
• RQ2 ラグランジアンが恒等的に消えるオイラー方程式をもたらすための必要十分条件は何か？
• RQ3 リー微分および微分形式を用いて、変分問題の対称性をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 Lepagian形式は第一変分の幾何的定式化において果たす役割は何か？
• RQ5 一般相対性理論に適合する変分理論は、ファイブラー多様体の幾何的構造からどのように導かれるか？

主な発見

• 第一変分公式はLepagian形式を用いて導出され、微分同相写像のもとでの不変性が保証される。
• ラグランジアンに付随するオイラー形式が消えるのは、その形式の外微分が特定の幾何的条件を満たすときである。
• 恒等的に消えるオイラー方程式のための必要十分条件は、微分形式およびその外微分を用いて与えられる。
• 変分問題の対称性は、対応するベクトル場に沿ったラグランジアン形式のリー微分の消滅によって特徴づけられる。
• 理論は一般相対性理論に適合する場の理論のための幾何学的枠組みを提供し、物理的場の理論への応用がある。
• 射影可能なベクトル場のジェット拡大により、幾何学的変分法における変動の一貫性のある取り扱いが可能になる。