[論文レビュー] Some Improvements on Locally Repairable Codes

Jun Zhang, Xin Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2015

Advanced Data Storage Technologies参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、$ n_1 \leq n_2 $ の場合に locally repairable codes (LRCs) の最小距離に対する改善された上界を導出し、その上界に達する構成を提示することで、LRCs における未解決問題を解決する。さらに、大径の $ (r+1) $-正則グラフを用いたグラフィカルモデルを導入し、局所性 $ r $、可用性 2、レート $ \frac{r-1}{r+1} $、最小距離 $ O(\log n) $ を有する二値 LRCs を構築する。これは、従来の二値構成と比較して、最小距離が著しく向上している。

ABSTRACT

The locally repairable codes (LRCs) were introduced to correct erasures efficiently in distributed storage systems. LRCs are extensively studied recently. In this paper, we first deal with the open case remained in \cite{q} and derive an improved upper bound for the minimum distances of LRCs. We also give an explicit construction for LRCs attaining this bound. Secondly, we consider the constructions of LRCs with any locality and availability which have high code rate and minimum distance as large as possible. We give a graphical model for LRCs. By using the deep results from graph theory, we construct a family of LRCs with any locality $r$ and availability $2$ with code rate $\frac{r-1}{r+1}$ and optimal minimum distance $O(\log n)$ where $n$ is the length of the code.

研究の動機と目的

• 条件 $ n_1 \leq n_2 $ のもとで、[40] における未解決事項を、LRC の最小距離に対するより緊密な上界を導出することによって解決すること。
• 特に $ n_1 < n_2 $ および $ u+v+n_2 - n_1 \leq r $ の場合に、この改善された上界に達する明示的な LRC の構成を行うこと。
• 任意の局所性 $ r $、可用性 2、高レート $ \frac{r-1}{r+1} $、かつ大きな最小距離を有する二値 LRCs を構築すること。
• 局所性と可用性を満たす LRCs を体系的に設計できるように、二部グラフを用いたグラフィカルモデルを確立すること。

提案手法

• 線形整数計画法の定式化を解くことにより、$ n_1 \leq n_2 $ の条件下で LRC の最小距離に対する新しい上界を導出する。
• 補間多項式を用いて、$ n_1 < n_2 $ および $ u+v+n_2 - n_1 \leq r $ の場合に最適な LRC を構成し、既存の構成を拡張する。
• 二部グラフを用いて二値 LRCs をモデル化し、縮約グラフが $ (r+1) $-正則かつ大径を有することを仮定する。
• 二部グラフのバイアドジェセンシー行列の核空間としてコードを構築し、局所性 $ r $ および可用性 2 を保証する。
• 極値グラフ論の結果を活用して、縮約グラフの径 $ g $ が $ g = O(\log n) $ を満たすように保証し、これがコードの最小距離を直接決定することを確立する。
• 既知の明示的構成（例：[22], [17], [7] からのもの）を用いて、性能保証が明確なコード設計を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件 $ n_1 \leq n_2 $ のもとで、LRC の最小距離に対する最も緊密な上界は何か？
• RQ2 $ n_1 \leq n_2 $ の範囲で、この改善された上界に達する明示的構成が可能か？
• RQ3 局所性 $ r $、可用性 2、高レートを有する二値 LRCs を、最小距離を最大化するようにどのように構築できるか？
• RQ4 望ましい局所性と可用性を有する LRCs を体系的に設計できるグラフィカルモデルを確立できるか？
• RQ5 可用性 2、レート $ \frac{r-1}{r+1} $ を有する二値 LRCs に対して、最小距離 $ O(\log n) $ は最適か？

主な発見

• 条件 $ n_1 \leq n_2 $ のもとで、LRC の最小距離に対する改善された上界が導出され、古典的境界 (1.1) や [40] の境界よりも厳密に改善されている。
• 補間多項式を用いた新規な手法により、$ n_1 < n_2 $ および $ u+v+n_2 - n_1 \leq r $ の場合に最適な LRC の明示的構成が提供され、新たな上界に達している。
• Tamo と Barg の構成 [37] が、$ n_1 \leq n_2 $ かつ $ u+v > r $、$ v \neq r $ の場合に最適であることが示され、未解決問題における重要なケースが解決された。
• 局所性 $ r $、可用性 2 を有する二値 LRCs を、大径を有する $ (r+1) $-正則グラフを用いたグラフィカルモデルとして確立した。
• 得られたコードは、レート $ \frac{r-1}{r+1} $、局所性 $ r $、可用性 2、最小距離 $ d = g = O(\log n) $ を達成しており、この設定において最適である。
• 可用性 2、レート $ \frac{r-1}{r+1} $ を有する二値 LRCs に対して、最小距離 $ O(\log n) $ が最適であることが証明されており、[11, Theorem 2.5] によって確認されている。