[論文レビュー] Some necessary and some sufficient conditions for the compactness of the embedding of weighted Sobolev spaces

Francesca Antoci|ArXiv.org|Jan 30, 2003

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 13被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、重み付きソボレフ空間 $W^{1,p}(\bar{\Omega},w) \hookrightarrow L^p(\bar{\Omega},w)$ のコンパクト埋め込みの必要十分条件を確立し、アダムズの古典的結果を一般化する。重み $w$ の部分グラフを用いた幾何的基準を導入し、部分グラフ $\Omega_w$ における埋め込みがコンパクトであれば、元の埋め込みに対してもコンパクトであることを示す。主な貢献は、一般の重み（$A_p$ 現在外の重みを含む）に適用可能な実用的で幾何的な十分条件の提示である。

ABSTRACT

We give some necessary conditions and sufficient conditions for the compactness of the embedding of Sobolev spaces $W^{1,p}(Ω,w) o L^p(Ω,w),$ where $w$ is some weight on a domain $Ω\subset \Real^n$.

研究の動機と目的

• 重み付きソボレフ空間 $W^{1,p}(\Omega,w) \hookrightarrow L^p(\Omega,w)$ のコンパクト埋め込みの簡単で検証可能な必要十分条件を提供すること。
• 非線形主成分分析などの応用において一般的な密度関数を扱う際のコンパクト性に関するアクセス可能な基準の欠如に対処すること。
• 幾何的およびフローベースの手法を用いて、アダムズのコンパクト性に関する古典的結果を重み付き設定に拡張すること。
• 十分条件が $A_p$ 現在外の重み（例：対数的・指数的重み）に適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 重み付きトレースおよび容量推定を用いて、アダムズのコンパクト性に関する必要条件を重み付き $W^{1,p}$-to-$L^p$ 埋め込みに一般化する。
• 幾何的埋め込み基準を導入：部分グラフ $\Omega_w = \{(x,y) \mid x \in \Omega, 0 < y < w(x)\}$ が $W^{1,p}$-to-$L^p$ 埋め込みに関してコンパクトであれば、元の空間に対しても同様にコンパクトである。
• 定理 5.1 を用いたフローベースの議論により、$\Omega_w$ 上で定義されたフロー $\Phi$ を構成し、領域を保存するとともに体積減少条件を満たすようにする。これによりコンパクト性が保証される。
• 具体的な重みに十分条件を適用する。$f(r) \to \infty$ となる $w(x) = f(|x|)$（$r \to 0^+$ のとき）、および $x > 0$ に対して $w(x) = (\log(1/x))^{1/2}$ の場合を検討し、$w \notin A_p$ であってもコンパクト性が成立することを示す。
• 錐性条件および有界集合による逐次近似を用いて、問題を幾何的制御が可能な有界領域におけるコンパクト埋め込みに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の重み $w$ に対して、埋め込み $W^{1,p}(\Omega,w) \hookrightarrow L^p(\Omega,w)$ がコンパクトであるための必要十分条件は何か？
• RQ2 重みの部分グラフ $\Omega_w$ の幾何的性質を用いて、埋め込みのコンパクト性を特徴付けられるか？
• RQ3 部分グラフ埋め込みに基づく十分条件は、$A_p$ 現在外の重みにまで拡張可能か？
• RQ4 統計的モデル（例：非線形PCAにおける確率密度）で生じる重みに、コンパクト性基準をどのように適用できるか？

主な発見

• 部分グラフ $\Omega_w$ が $W^{1,p}$-to-$L^p$ 埋め込みに関してコンパクトであれば、元の埋め込み $W^{1,p}(\Omega,w) \hookrightarrow L^p(\Omega,w)$ もコンパクトである。これは幾何的十分条件を提供する。
• 径数的重み $w(x) = f(|x|)$ で、$f(r) \to \infty$（$r \to 0^+$ のとき）かつ $\lim_{y \to \infty} f^{-1}(y+\epsilon)/f^{-1}(y) = 0$ を満たす場合、埋め込みはコンパクトである。
• $(-1/2, 1/2)$ 上で $x > 0$ に対して $w(x) = (\log(1/x))^{1/2}$ である場合、$w$ が $A_p$ 現在に属さないにもかかわらず、埋め込みはコンパクトである。
• 非有界領域において $w(x) = g(|x|)$ のとき、$\lim_{r \to \infty} \frac{g(r+\epsilon)}{g(r)} = 0$ はコンパクト性の必要条件である。
• フロー $\Phi(r,\theta,y,t) = (r-t,\theta, \frac{g(r-t)}{g(r)}y)$ は定理 5.1 の仮定を満たし、体積減少を用いたコンパクト性の証明が可能である。
• 重みの境界または原点に特異性を持つ場合でも、重みの逆関数が無限大で減少条件を満たしていれば、結果は拡張可能である。