[論文レビュー] Some Properties and Examples of Triangular Pointed Hopf Algebras

Shlomo Gelaki|ArXiv.org|Jul 16, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、特性 0 の代数的に閉じた体上の三角的ポイント付きホップ代数を調査し、その代数においてアンチポーダの4乗が恒等写像であることを証明している。最小三角的部分ホップ代数を用いた双積構造を確立し、グロープライクおよびスケュー原始的元によって生成される有限次元ポイント付きホップ代数のすべての最小三角的構造について、構成的分類を提供している。これは、表現論的条件下でのアンチポーダの位数に関する結果を一般化するものである。

ABSTRACT

A fundamental problem in the theory of Hopf algebras is the classification and construction of finite-dimensional (minimal) triangular Hopf algebras (A,R) introduced by Drinfeld. Only recently Etingof and the author completely solved this problem for semisimple A over algebraically closed fields of characteristics 0 and p>>dim(A) (any p if one assumes that A is also cosemisimple). In this paper we take the first step towards solving this problem for finite-dimensional pointed Hopf algebras over an algebraically closed field k of characteristic 0. We first prove that the fourth power of the antipode of any triangular pointed Hopf algebra A is the identity. We do that by focusing on minimal triangular pointed Hopf algebras (A,R) (every triangular Hopf algebra contains a minimal triangular sub Hopf algebra) and proving that the group algebra of the group of grouplike elements of A (which must be abelian) admits a minimal triangular structure and consequently that A has the structure of a biproduct. We also generalize our result on the order of the antipode to any finite-dimensional quasitriangular Hopf algebra A whose Drinfeld element u acts as a scalar in any irreducible representation of A (e.g. when A^* is pointed). Second, we describe a method of construction of finite-dimensional pointed Hopf algebras which admit a minimal triangular structure, and classify all their minimal triangular structures. We conclude the paper by proving that any minimal triangular Hopf algebra which is generated as an algebra by grouplike elements and skew primitive elements is isomorphic to a minimal triangular Hopf algebra constructed using our method.

研究の動機と目的

• 代数的に閉じた特性 0 の体上で最小三角的構造をもつ有限次元ポイント付きホップ代数を分類すること。
• グロープライク元の群と関連する三角的データを分析することにより、最小三角的ポイント付きホップ代数の構造を理解すること。
• S^4 = id であるという結果を、ドリンフェルト要素が既約表現でスカラーとして作用するような、クェーシトリギュラーなホップ代数へ一般化すること。
• 最小三角的構造をもつすべての有限次元ポイント付きホップ代数を生成する構成的メソッドを提供すること。
• グロープライクおよびスケュー原始的元によって生成される任意の最小三角的ホップ代数が、提示された構成法によって得られることを証明すること。

提案手法

• 任意の三角的ホップ代数の部分代数である最小三角的ポイント付きホップ代数 (A,R) に注目する。
• A のグロープライク元の群がアーベル群であり、最小三角的構造をもつことを証明し、これにより A の双積分解が可能であることを示す。
• ドリンフェルト要素 u 及びその既約表現への作用を用いて、S^4 = id の結果をポイント付き三角的ホップ代数を超えて拡張する。
• 有限アーベル群と 2-コサイクルを用いた体系的な方法により、有限次元ポイント付きホップ代数のすべての最小三角的構造を構成する。
• グロープライクおよびスケュー原始的元によって生成される任意の最小三角的ホップ代数が、提示された方法で構成されたホップ代数と同型であることを示す。
• Etingof および Gelaki の半単純三角的ホップ代数に関する結果を応用し、ポイント付きの場合の分類を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性 0 の体上の有限次元三角的ポイント付きホップ代数において、アンチポーダの位数は何か？
• RQ2 有限次元ポイント付きホップ代数のすべての最小三角的構造は、群データとコサイクルを用いて体系的に構成可能か？
• RQ3 ドリンフェルト要素が既約表現でスカラーとして作用する条件は何か？ そして、これはアンチポーダの位数にどのように影響するか？
• RQ4 グロープライクおよびスケュー原始的元によって生成される任意の最小三角的ホップ代数は、提示された方法で構成されたものと同型か？
• RQ5 ポイント付きホップ代数が最小三角的構造をもつために満たすべき構造的制約は何か？

主な発見

• 特性 0 の体上の任意の三角的ポイント付きホップ代数において、アンチポーダ S の4乗は恒等写像である。すなわち、S^4 = id が成り立つ。
• 最小三角的ポイント付きホップ代数におけるグロープライク元の群はアーベル群であり、最小三角的構造をもつため、代数の双積分解が可能である。
• S^4 = id の結果は、ドリンフェルト要素 u がすべての既約表現でスカラーとして作用する任意の有限次元クェーシトリギュラーなホップ代数へ拡張可能であり、特に双対ホップ代数 A* がポイント付きである場合にも適用可能である。
• 有限アーベル群と 2-コサイクルを用いた構成的メソッドにより、有限次元ポイント付きホップ代数のすべての最小三角的構造について完全な分類が提供されている。
• グロープライクおよびスケュー原始的元によって生成される任意の最小三角的ホップ代数は、提示された方法で構成されたホップ代数と同型である。
• この構成法により、すべてのこのような最小三角的ホップ代数が得られ、分類は包括的かつ明示的である。