[論文レビュー] Some properties of multivariate measures of concordance

M. D. Taylor|ArXiv.org|Aug 22, 2008

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、厳密な公理的枠組みを用いて、二変量の一致度測度を高次元に拡張し、周辺的一致度測度の観点から多次元一致度を表現する式を導出する。主な貢献は、二変量一致度をn次元に拡張する一般的手法、変数の符号反転に対する一致度の式、奇数次元コプシラの一致度が偶数次元周辺分布にどのように関連するかを示す式である。

ABSTRACT

We explore the consequences of a set of axioms which extend Scarsini's axioms for bivariate measures of concordance to the multivariate case and exhibit the following results: (1) A method of extending measures of concordance from the bivariate case to arbitrarily high dimensions. (2) A formula expressing the measure of concordance of the random vectors $(\pm X_1,...,\pm X_n)$ in terms of the measures of concordance of the "marginal" random vectors $(X_{i_1},...,X_{i_k})$. (3) A method of expressing the measure of concordance of an odd-dimensional copula in terms of the measures of concordance of its even-dimensional marginals. (4) A family of relations which exist between the measures of concordance of the marginals of a given copula.

研究の動機と目的

• スカラスィーニの二変量一致度の公理を多次元に拡張し、整合的な理論的枠組みを確立すること。
• 符号反転などの変換におけるnコプシラの対称性と周辺分布を追跡するための体系的表記法の開発。
• さまざまな変換下での多次元一致度が周辺一致度測度でどのように表現されるかを示す明示的式の導出。
• 与えられたコプシラの補完的周辺分布の一致度測度間の構造的関係の調査。
• 共通の変数の符号反転によって結合される変数の次元が増加する際の一致度の漸近的挙動の探求。

提案手法

• 文献[12]の多次元一致度の公理的体系を採用・拡張し、二変量一致度の原則と整合することを保証する。
• 特に符号反転を扱うために、コプシラ上の変換$\sigma_S^*$を用いたn-超立方体の対称性を表現する専用記号を導入する。
• $\kappa_n(C)$をnコプシラ$C$に作用する一致度測度として定義し、最大状態では$\kappa_n(M) = 1$、独立状態では$\kappa_n(\Pi) = 0$となるようにする。
• 添え字の部分集合$R$に関する和を含む再帰的式を用いて、$\kappa_n(\sigma_S^*(C))$を低次元周辺分布の$\kappa_j(C_R)$で表現する。
• 定理4を適用して、$\kappa_n(\sigma_S^*(M))$の主要な式を導出する。この式には二項係数と積$ r_{n-k} $が含まれる。
• 漸近的挙動を分析する際、$ r_n \to r $を仮定し、$ n \to \infty $における極限式$ \kappa_n(\sigma_S^*(M)) \to (-1)^s(1 - r)^s $が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の二変量一致度測度を、提示された公理を満たすように一貫的に多次元に拡張できるか？
• RQ2 符号$ \epsilon_i = \pm 1 $を有する確率的ベクトル$ (\epsilon_1 X_1, \dots, \epsilon_n X_n) $の一致度測度は、その周辺成分の一致度とどのように関係するか？
• RQ3 与えられたコプシラの補完的周辺分布の一致度測度間にどのような構造的関係が存在するか？
• RQ4 奇数次元コプシラの一致度は、その偶数次元周辺分布の一致度で完全に表現可能か？
• RQ5 変数が共通の変数の符号反転によって結合される場合、次元$ n \to \infty $における多次元一致度の極限挙動はいかなるものか？

主な発見

• 任意の二変量一致度測度を、公理的枠組みを保ったまま任意次元に拡張する一般的手法が確立された。
• 符号が$ s $個の負である確率的ベクトル$ (\epsilon_1 X_1, \dots, \epsilon_n X_n) $に対して、一致度測度は$ \kappa_n(\sigma_S^*(M)) = (-1)^s + \sum_{k=1}^s (-1)^{k+s} \binom{s}{k} r_{n-1} \cdots r_{n-k} $で与えられ、これは$ n $と$ s $にのみ依存することが示された。
• $ r_n \to r $ であると仮定すると、$ \sigma_S^*(M) $の漸近的一致度は$ (-1)^s(1 - r)^s $に収束する。$ r = 1 $の場合、この極限は$ s > 0 $ならば0となり、極限で一致度がなくなることを示している。
• 任意の奇数次元コプシラ$ C $の一致度は、その偶数次元周辺分布の一致度測度の関数として表現可能である。
• 本稿で用いられた構成において、$ r_{1+p} = \frac{2p}{2+p} \to 2 $（$ p \to \infty $）となるため、$ \kappa_n(\sigma_S^*(M)) \to 1 $となり、特定の拡張において一致度が増加することが示された。
• 本稿では、次数$ m $の一致度測度のクラスを同定し、これにより既存の二変量ケースの研究を拡張する可能性のある標準形の存在を示唆した。