[論文レビュー] Some recent work in Frechet geometry

Christopher T. J. Dodson|Research Explorer (The University of Manchester)|Sep 20, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Fréchet多様体の無限次元化を、Banach多様体の射影極限として表現することにより、有限次元多様体における第二接バンドルおよび線形接続の理論を無限次元Fréchet多様体へと拡張する。第二接バンドル $T^2M$ が、一般化されたリーダイクス型構造群を有するベクトルバンドル構造を持つための必要十分条件は、一般化されたクリストッフェル記号で特徴づけられる特定のタイプの線形接続の存在であることが示され、Fréchet幾何学における主要な構造的課題が、グローバル解析および場の理論への応用において解決される。

ABSTRACT

Some recent work in Frechet geometry is briefly reviewed. In particular an earlier result on the structure of second tangent bundles in the finite dimensional case was extended to infinite dimensional Banach manifolds and Frechet manifolds that could be represented as projective limits of Banach manifolds. This led to further results concerning the characterization of second tangent bundles and differential equations in the more general Frechet structure needed for applications. A summary is given of recent results on hypercyclicity of operators on Frechet spaces.

研究の動機と目的

• 有限次元多様体から無限次元Fréchet多様体への第二接バンドル $T^2M$ のベクトルバンドルとしての特徴づけを拡張すること。
• Fréchet空間の一般線形群に合理的な位相群構造が存在しないという問題を、射影極限構成を用いることで克服すること。
• Fréchet多様体設定において $T^2M$ が $M$ 上でベクトルバンドル構造を持つための条件を確立し、Banach多様体の結果を一般化すること。
• グローバル解析および場の理論に関連するFréchet多様体における微分方程式および接続のための幾何的枠組みを提供すること。
• 特にBanach空間の射影極限における作用素のハイパーシュル性および位相的力学的性質の継続性を調査すること。

提案手法

• Fréchet多様体をBanach多様体の射影極限として表現することで、Banachケースから構造的性質を継承すること。
• 無限次元ベクトルバンドルにおける接続のVilms形式を用いて、Fréchet多様体上の一般化された線形接続を定義すること。
• 射影極限構造から導かれる一般化された意味でのリーダイクス型トポロジカル群としての $T^2M$ の一般化された構造群を導入すること。
• このような接続の存在を特徴づける一般化されたクリストッフェル記号の集合を定義すること。
• 微分方程式の可解性を保つために、quojection Fréchet空間（射影射が全射であるBanach空間の可算射影極限）の理論を適用すること。
• 位相的力学的性質（例えば位相的トランスティビティおよび混合性）を用いて、Fréchet空間上の作用素のハイパーシュル性を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fréchet多様体 $M$ の第二接バンドル $T^2M$ が $M$ 上でベクトルバンドル構造を持つための条件は何か？
• RQ2 Fréchet空間における良好な一般線形群が存在しない状況において、接続および構造群を定義するにはどうすればよいか？
• RQ3 Fréchet多様体の射影極限表現が、$T^2M$ へのベクトルバンドル構造の拡張をどのように可能にするか？
• RQ4 どのクラスの作用素がFréchet空間上でハイパーシュル性を示し、それは位相的トランスティビティおよび混合性とどのように関係するか？
• RQ5 古典的な線形作用素半群の無限小生成子およびハイパーシュル性に関する結果が、Fréchet設定においてどの程度保持されるか？

主な発見

• Fréchet多様体 $M$ がBanach多様体の射影極限として構成されているとき、第二接バンドル $T^2M$ が $M$ 上でベクトルバンドル構造を持つための必要十分条件は、一般化されたクリストッフェル記号で特徴づけられる特定のタイプの線形接続が存在することである。
• 構造群は、射影極限構成から導かれる一般化されたリーダイクス型トポロジカル群であり、一貫性のある幾何的枠組みを可能にする。
• 分離可能な無限次元Fréchet空間上の作用素のハイパーシュル性は保証される：任意のこのような空間はハイパーシュル作用素を備える。
• ハイパーシュル作用素 $T$ の $m$ 個のコピーの直和 $T^{igoplus m}$ は、各 $m \in \mathbb{N}$ に対して $\mathbb{F}^m$ 上でハイパーシュルである、ある条件下で成り立つ。
• $C_0[0,1)$ 上のボルテラ合成作用素 $V_\varphi$ は、$\varphi$ が厳密に増加しており、$x \in (0,1)$ に対して $\varphi(x) > x$ を満たす場合に限りハイパーシュルである。
• Fréchet空間上の連続作用素半群の無限小生成子は、古典的意味では存在しないことがあるが、quojection Fréchet空間（例えば $\mathbb{C}^\mathbb{N}$、$X$ が $\sigma$-コンパクトなときの $C(X)$）の場合は存在する。