[論文レビュー] Some results on large cardinals and the continuum function

Brent Cody|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、東田関数を用いて、ウッドリン基数以下の正則基数における任意の連続体関数の挙動を実現しつつ、ウッドリン基数を保存する強制拡張を確立する。さらに、超コンパクト基数におけるGCHの失敗を強制するには、元の基数のそれ以上の大基数の強さを要することを示し、λ-超コンパクト性に加えGCHの失敗がλで成立する場合と、λ-超コンパクト性に加えλ++-タラネスの性質が成立する場合との間で等価濃度を示す。

ABSTRACT

Given a Woodin cardinal $δ$, I show that if $F$ is any Easton function with $F"δ\subseteqδ$ and $\GCH$ holds, then there is a cofinality-preserving forcing extension in which $2^γ= F(γ)$ for each regular cardinal $γ

研究の動機と目的

• 測定可能基数に関するレヴィンスキーの結果を、ウッドリン基数や部分的に超コンパクト基数を含むより広い大基数の文脈へと拡張すること。
• 正則基数における連続体関数の特定の挙動を強制する際に必要な一貫性の強度を、大基数の性質を保存する条件下で調査すること。
• 大基数におけるGCHの失敗を強制するには、元の基数のそれ以上の大基数の強さを要するのかを検討すること。
• ウッドリン基数以下の正則基数における任意の連続体関数の挙動を実現しつつ大基数を保存するように、イーストンの定理を一般化すること。
• 強制、連続体関数、および超コンパクト性やタラネスの性質といった強い大基数性質の保存との間の相互作用を調査すること。

提案手法

• ウッドリン基数δ以下の連続体関数を制御するために、共終性を保存する強制拡張を用いる。
• F(γ) = 2^γ をすべての正則γ < δに対して満たす東田関数Fを適用し、F"δ ⊆ δ を満たす。
• δのウッドリン性質を保存しつつ、各正則γ < δにおける2^γを調整する強制技法を用いる。
• λでGCHの失敗が成立するという仮定のもとで、κがλ-超コンパクトかつλ++-タラネスであるような強制拡張を構成することで、新しい等価濃度結果を提示する。
• 測定可能基数に関するレヴィンスキーの手法を、ウッドリン基数や部分的に超コンパクト基数といった他の大基数概念へと適応・一般化する。
• 強制、大基数埋め込み、および冪集合関数の構造との相互作用を用いて、望ましい大基数性質を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウッドリン基数δ以下の正則基数における連続体関数を、δのウッドリン性質を保存する条件下で任意の値に強制することは可能か？
• RQ2 超コンパクト基数におけるGCHの失敗を強制する際に、その超コンパクト性を保存するための必要となる一貫性の強度は何か？
• RQ3 レヴィンスキーの測定可能基数に関する結果は、どの程度他の大基数概念へ一般化可能か？
• RQ4 正則基数におけるGCHの失敗を強制する際の、超コンパクト性を保存する条件下での一貫性の強度を特徴づける大基数概念は存在するか？
• RQ5 与えられた大基数性質を保存しつつ、正則基数における与えられた連続体関数の挙動を実現するために必要な最小の大基数仮定は何か？

主な発見

• 任意のウッドリン基数δとF"δ ⊆ δ を満たす東田関数Fに対して、すべての正則γ < δについて2^γ = F(γ) であり、δがウッドリンのままであるような共終性を保存する強制拡張が存在する。
• λでGCHの失敗が成立するλ-超コンパクト基数κの存在は、κがλ-超コンパクトかつλ++-タラネスであるという存在と等価濃度である。
• レヴィンスキーの測定可能基数に関する結果は、ウッドリン基数や他の大基数の文脈へ一般化可能であり、GCHが成立する最小の正則基数としてのκが、その大基数性質を保存したまま存在することが示された。
• 正則基数以下の連続体関数の特定の挙動を強制するには、元の基数のそれ以上の大基数の強さを要することが、超コンパクトの場合に示された。
• この論文は、ウッドリン基数δ以下の任意の東田関数Fを実現しつつδのウッドリン性質を保存する強制拡張を構成し、このような強制技法の堅牢性を確認した。
• 結果は、強制と大基数との相互作用が、連続体関数の制御の文脈において、従来の理解をはるかに超えて洗練されたものであることを示している。