[論文レビュー] Some ways to reconstruct a sheaf from its tautological image on a Hilbert scheme of points

Andreas Krug, Jørgen Vold Rennemo|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、次元 $\geq 2$ の滑らかで準射影的多様体 $X$ に対して、ヒルベルトスキーム $X^{[n]}$ 上の普遍族の構造層および理想層に沿ったフーリエ＝ムカイ変換が左逆を持つことを確立し、両関手が同型類上で忠実かつ全単射的であることを保証する。これにより、$\mathsf{D}(X)$ 内の対象が $X^{[n]}$ 上のその随伴的像から完全に再構成可能となり、従来のベクトルバンドルに限られていた結果を、一貫した層および導来カテゴリにまで拡張する。

ABSTRACT

For $X$ a smooth quasi-projective variety and $X^{[n]}$ its associated Hilbert scheme of $n$ points, we study two canonical Fourier--Mukai transforms $D(X) o D(X^{[n]})$, the one along the structure sheaf and the one along the ideal sheaf of the universal family. For $\dim X\ge 2$, we prove that both functors admit a left-inverse. This means in particular that both functors are faithful and injective on isomorphism classes of objects. Using another method, we also show in the case of an elliptic curve that the Fourier--Mukai transform along the structure sheaf of the universal family is faithful and injective on isomorphism classes. Furthermore, we prove that the universal family of $X^{[n]}$ is always flat over $X$, which implies that the Fourier--Mukai transform along its structure sheaf maps coherent sheaves to coherent sheaves.

研究の動機と目的

• 導来カテゴリ $\mathsf{D}(X)$ の対象がヒルベルトスキーム $X^{[n]}$ 上のその随伴的像から再構成可能かどうかという根本的問題に取り組む。
• 従来の結果（曲線や曲面におけるベクトルバンドルに限られていた）を、ベクトルバンドルの枠組みを越え、高次元多様体へと一般化する。
• 普遍族の構造層および理想層に沿った二つの代表的なフーリエ＝ムカイ関手の、同型類上で忠実かつ単射的であることを確立する。
• 多様体 $X$ に関して、普遍族 $\Xi_n \subset X^{[n]} \times X$ が $X$ に沿って平坦であることを示し、随伴的構成が一貫性を保つことを保証する。
• 特にアーベル多様体や楕円曲線に適した、多重グラフおよび自己同型を用いた新しい再構成法を提供する。

提案手法

• 幾何学的および圏論的技法を用いて、随伴的フーリエ＝ムカイ変換 $E \mapsto E^{[n]} = p_*q^*E$ の左逆関手を構成する。
• 普遍族 $\Xi_n$ が $X$ に沿って平坦であることを利用して、$E$ が一貫的であるとき $E^{[n]}$ が一貫的であることを保証する。
• $\mathbb{P}^n$-関手および $\mathbb{P}^{n-1}$-関手の理論を用いて、理想層 $\mathcal{I}_{\Xi_n}$ 沿いの第二の変換 $\mathsf{F}_n$ を分析する。
• $X$ 上の $n+1$ 個の自己同型 $\varphi_0, \dots, \varphi_n$ を用いた多重グラフ構成を導入し、$\psi_j: X \to X^{[n]}$ を分類写像として定義する。
• $\mathsf{D}(X)$ のクルール＝シュミット性質を活用し、すべての $j$ に対して $\bigoplus_{i \neq j} \varphi_i^*(E) \cong \bigoplus_{i \neq j} \varphi_i^*(F)$ が成り立つならば $E \cong F$ を導出する。
• $\psi_j^* \circ (\underline{\ \ })^{[n]}$ の合成を用いて、自己同型が空な対ごとの一致集合を持つとき、随伴的関手が忠実であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $\dim X \geq 2$ の場合、$\mathsf{D}(X)$ 内の対象はヒルベルトスキーム $X^{[n]}$ 上のその随伴的像から再構成可能か？
• RQ2 ヒルベルトスキーム $X^{[n]}$ 上の普遍族の構造層および理想層に沿ったフーリエ＝ムカイ関手は左逆を持つか？
• RQ3 次元 $\geq 2$ の多様体に対して、随伴的関手 $E \mapsto E^{[n]}$ は同型類上で忠実かつ単射的か？
• RQ4 自己同型に基づく構成を用いて、再構成結果を楕円曲線およびアーベル多様体へ拡張可能か？
• RQ5 多様体 $X$ の自己同型にどのような条件を課すと、随伴的関手が同型類上で単射的になるか？

主な発見

• 任意の滑らかで準射影的多様体 $X$ に対して、普遍族 $\Xi_n \subset X^{[n]} \times X$ は $X$ に沿って平坦であり、$E$ が一貫的であるとき $E^{[n]}$ が一貫的であることを保証する。
• $\dim X \geq 2$ の場合、随伴的関手 $E \mapsto E^{[n]}$ および理想層変換 $\mathsf{F}_n(E) = \mathsf{pr}_{X^{[n]}*}(\mathcal{I}_{\Xi_n} \otimes \mathsf{pr}_X^*E)$ の両方が左逆を持つため、両関手は全単射的かつ同型類上で単射的である。
• 楕円曲線に対しても、一般の次元 $\geq 2$ の結果が適用されないにもかかわらず、随伴的関手 $E \mapsto E^{[n]}$ は同型類上で忠実かつ単射的である。
• $X$ が $n+1$ 個の自己同型をもち、それらの対ごとの一致集合が空である場合、随伴的関手 $E \mapsto E^{[n]}$ は同型類上で単射的である。
• アーベル多様体では、空な対ごとの一致集合を持つ無限個の平行移動部分群が存在するため、関手 $E \mapsto E^{[n]}$ は同型類上で単射的である。
• クルール＝シュミット圏において、すべての $j = 0, \dots, n$ に対して $\bigoplus_{i \neq j} \Phi_i(E) \cong \bigoplus_{i \neq j} \Phi_i(F)$ が成り立つならば $E \cong F$ が成り立つ。これは多重グラフ再構成法の根拠となる。