[論文レビュー] Somewhere over the rainbow Ramsey theorem for pairs

Ludovic Patey|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2015

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 34被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、2つの対に対するルビーレインマン定理（RRT²₂）およびその変種の逆数学的性質を調査し、2つの対に対するスリムセット定理がRRT²₂を含意すること、および2つの対に対する安定的スリムセット定理がRCA₀上での原子モデル定理を含意することを確立している。また、弱くルビーレインマン安定な色分けの概念を導入・特徴づけ、これがΔ₀²関数に対する対角化と相対化されたシュノール確率的無作為性と同値であることを示し、RRT²₂の強さに関する新たな計算的洞察を提供している。

ABSTRACT

The rainbow Ramsey theorem states that every coloring of tuples where each color is used a bounded number of times has an infinite subdomain on which no color appears twice. The restriction of the statement to colorings over pairs (RRT22) admits several characterizations: it is equivalent to finding an infinite subset of a 2-random, to diagonalizing against Turing machines with the halting set as oracle... In this paper we study principles that are closely related to the rainbow Ramsey theorem, the Erdős Moser theorem and the thin set theorem within the framework of reverse mathematics. We prove that the thin set theorem for pairs implies RRT22, and that the stable thin set theorem for pairs implies the atomic model theorem over RCA. We define different notions of stability for the rainbow Ramsey theorem and establish characterizations in terms of Ramsey-type König's lemma, relativized Schnorr randomness or diagonalization of Delta2 functions.

研究の動機と目的

• RRT²₂の論理的および計算的強さが逆数学の枠組み内でどのように特定されるかを明確化すること。
• RRT²₂、エルデシュ＝モーザーの定理（EM）およびスリムセット定理（SFS）の間の関係、特に安定性の文脈において調査すること。
• 対角化、無作為性、およびコンラッドの補題の原則を用いて、弱くルビーレインマン安定な色分けを特徴づけること。
• 2つの対に対する安定的スリムセット定理がRCA₀上での原子モデル定理を含意するかどうかを特定すること。
• RRT²₂が他の原理（例えばスリムセット定理や弱くルビーレインマン安定な色分け）によってどの程度含意可能であるかを調査すること。

提案手法

• fに関する強化されたd.n.c.関数から無限大のf-ルビーレインマンを構成するために、条件(σ, g, B)を用いた強制法を用いる。この際、Xに関する低さを有する計算を活用する。
• Lemma 6.8およびLemma 6.9を適用し、結果として得られる集合Gがプリルビーレインマンであり、G⊕Xが無限大のf-ルビーレインマンを計算可能であることを保証する、単調減少な条件列を構築する。
• 固定されたyに対してf(y,s)の極限挙動を分析し、弱いルビーレインマン安定性の仮定とΣ₀²の境界を用いることで、無限大1タイルf-ルビーレインマンX上に定義された安定的色分けgを構成する。この構成は、対応する矛盾のペアリングに基づく段階的構成である。
• f(y,s)の固定されたyに対する極限挙動を分析することで、gが安定的であることを確立する。この際、弱いルビーレインマン安定性の仮定とΣ₀²の境界を用いる。
• 既知の同値関係（RRT²₂ ↔ DNR[∅′]）を用い、Conidis & SlamanおよびWangによる2重無作為性および1タイルルビーレインマンに関する結果を応用する。
• RCA₀上での逆数学的技法を用い、特にΣ₀²およびΣ₀²の境界（BΣ₀²）を用いて、原理間の含意関係を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの対に対するスリムセット定理は、RCA₀上でのRRT²₂を含意するか？
• RQ2 2つの対に対する安定的スリムセット定理は、RCA₀上での原子モデル定理を含意するか？
• RQ3 弱くルビーレインマン安定な色分けの計算的内容は何か？また、対角化および無作為性とどのように関係するか？
• RQ4 RRT²₂は、ラマゼン型コンラッドの補題または相対化されたシュノール無作為性によって特徴づけられるか？
• RQ5 WSRT²₂（弱く安定的RRT²₂）は、RCA₀上でのRRT²₂よりも厳密に弱いか？

主な発見

• 2つの対に対するスリムセット定理は、RCA₀上でのRRT²₂を含意する。これは逆数学における新たな含意関係を確立する。
• 2つの対に対する安定的スリムセット定理は、RCA₀上での原子モデル定理を含意する。これは、ラマゼン型原理とモデル存在性の間の既知の関係を拡張する。
• fに関するd.n.c.関数は、無限大1タイルf-ルビーレインマンを計算可能である。これはWangによるf-無作為性およびルビーレインマン集合に関する結果の精密化である。
• 弱くルビーレインマン安定なRRT²₂のバージョン（WSRRT²₂）は、RCA₀上でのRRT²₂よりも厳密に弱い。これは、すべての集合が低さを持つωモデルを構成することで示され、そのモデル内では∅′に関するd.n.c.関数を計算できない。
• 本稿では、WSRRT²₂を複数の方法で特徴づける。すなわち、Δ₀²関数に対する対角化、相対化されたシュノール無作為性、およびラマゼン型コンラッドの補題の原則による特徴づけが与えられる。
• 1タイルf-ルビーレインマンX上に安定的色分けgを構成することで、g-自由集合がすべてf-ルビーレインマンであることが保証され、これによりSFS(2)の解がWSRRT²₂に移行可能となる。