[論文レビュー] SOS-Hankel Tensors: Theory and Application

Guoyin Li, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 37被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、SOS-Hankelテンソル—SOS（和の平方）であるため、常に半正定値であることが保証されるHankelテンソル—を導入する。偶数次完全および強いHankelテンソルがSOS-Hankelテンソルであることが示され、半正定値Hankelテンソル補完問題に対するADMMアルゴリズムが提示され、すべての半正定値HankelテンソルがSOS-Hankelテンソルである場合、多項式時間で解けることが示されている。

ABSTRACT

Hankel tensors arise from signal processing and some other applications. SOS (sum-of-squares) tensors are positive semi-definite symmetric tensors, but not vice versa. The problem for determining an even order symmetric tensor is an SOS tensor or not is equivalent to solving a semi-infinite linear programming problem, which can be done in polynomial time. On the other hand, the problem for determining an even order symmetric tensor is positive semi-definite or not is NP-hard. In this paper, we study SOS-Hankel tensors. Currently, there are two known positive semi-definite Hankel tensor classes: even order complete Hankel tensors and even order strong Hankel tensors. We show complete Hankel tensors are strong Hankel tensors, and even order strong Hankel tensors are SOS-Hankel tensors. We give several examples of positive semi-definite Hankel tensors, which are not strong Hankel tensors. However, all of them are still SOS-Hankel tensors. Does there exist a positive semi-definite non-SOS-Hankel tensor? The answer to this question remains open. If the answer to this question is no, then the problem for determining an even order Hankel tensor is positive semi-definite or not is solvable in polynomial-time. An application of SOS-Hankel tensors to the positive semi-definite tensor completion problem is discussed. We present an ADMM algorithm for solving this problem. Some preliminary numerical results on this algorithm are reported.

研究の動機と目的

• 半正定値HankelテンソルとSOSテンソルの関係を調査し、特にすべての半正定値HankelテンソルがSOS-Hankelテンソルであるかどうかを検討すること。
• 偶数次完全および強いHankelテンソルがSOS-Hankelテンソルであることを確立し、これにより新たな多項式時間可解クラスを同定すること。
• 正定値Hankelテンソル補完問題を解くADMMベースのアルゴリズムを開発・検証すること。
• SOS-Hankelテンソルフレームワークが、テンソルの正定値性検証の計算複雑性を低減する可能性に迫ること。

提案手法

• 完全分解可能テンソルの概念を導入し、偶数次完全分解可能なテンソルがSOSテンソルであることを示す。
• 完全Hankelテンソルが強いHankelテンソルであり、強いHankelテンソルが完全分解可能であることを証明し、階層関係：完全 ⇒ 強い ⇒ SOS-Hankel を確立する。
• 半無限大線形計画法と半正定値計画法を用いてSOS性質を検証し、SOSテンソルの検出が多項式時間で解けるという事実を活用する。
• 正定値Hankelテンソル補完問題（TCP）に対するADMMアルゴリズムを提案し、テンソル変数Aの更新を特異値しきい値処理を用いて行う。
• ADMMの部分問題更新式を採用：$ A^{k+1} = \arg\min_{A \succeq 0} \left\{ \frac{\rho}{2} \| A + \frac{1}{\rho}(\mu I_l + Z^{k-1}) - M v^k \|^2 \right\} $、これはSVDにより解かれる。
• 数値実験では $ \mu = 0.1 $、$ \rho = 10 $ を設定し、合成テンソルインスタンスにおいて収束性と効率性を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての偶数次半正定値HankelテンソルはSOS-Hankelテンソルであるか？
• RQ2 SOS-Hankelテンソルのクラスは、完全および強いHankelテンソルのクラスよりも厳密に大きいとみなせるか？
• RQ3 すべての偶数次HankelテンソルがSOS-Hankelテンソルである場合、その正定値性を判定する問題は多項式時間で解けるか？
• RQ4 ADMMアルゴリズムは、正定値Hankelテンソル補完問題を効果的に解けるか？
• RQ5 ADMMの解から得られるHankel行列のランク構造は何か？ これはテンソルの分解可能性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 偶数次完全Hankelテンソルは、強いHankelテンソルの部分集合であり、さらにそれがSOS-Hankelテンソルの部分集合である。
• 強いHankelテンソルでないSOS-Hankelテンソルが存在することを示し、従来の半正定値Hankelテンソルクラスよりも厳密に大きなクラスであることを実証した。
• ADMMアルゴリズムは数値実験において、正定値Hankelテンソル補完問題を効率的に解き、$ \mu = 0.1 $、$ \rho = 10 $ の条件下で収束を示した。
• 最初のテストケースでは、生成ベクトル $ v $ がランク1のHankel行列を生成し、単純なSOS分解を示した。
• 2番目のテストケースでは、生成ベクトルがランク2のHankel行列を生成し、より高ランクの構造に対しても手法が適応可能であることを示した。
• 未解決の問題として残っている：半正定値HankelテンソルのうちSOS-Hankelテンソルでないものが存在するか？ そのようなものが存在しない場合、Hankelテンソルの正定値性判定は多項式時間で決定可能となる。