[논문 리뷰] SOS Tensor Decomposition: Theory and Applications

Haibin Chen, Guoyin Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 14.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 42인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $B_0$-텐서, $H$-텐서, 및 확장된 $Z$-텐서와 같은 여러 유형의 짝수계수 대칭 구조 텐서가 합의 제곱(SOS) 텐서 분해를 갖는다는 것을 입증한다. 이를 통해 정수형 프로그래밍을 통한 최소 $H$-고유값 계산과 관련 다변수 다항식의 정정의성 테스트가 효율적으로 가능해진다. 특히 지수의 범위가 제한된 텐서에 대해 SOS-랭크와 SOS-너비의 날카운 상한을 제공하며, 소형에서 대형 문제에 이르기까지 수치 실험을 통해 방법의 타당성을 검증한다.

ABSTRACT

In this paper, we examine structured tensors which have sum-of-squares (SOS) tensor decomposition, and study the SOS-rank of SOS tensor decomposition. We first show that several classes of even order symmetric structured tensors available in the literature have SOS tensor decomposition. These include positive Cauchy tensors, weakly diagonally dominated tensors, $B_0$-tensors, double $B$-tensors, quasi-double $B_0$-tensors, $MB_0$-tensors, $H$-tensors, absolute tensors of positive semi-definite $Z$-tensors and extended $Z$-tensors. We also examine the SOS-rank of SOS tensor decomposition and the SOS-width for SOS tensor cones. The SOS-rank provides the minimal number of squares in the SOS tensor decomposition, and, for a given SOS tensor cone, its SOS-width is the maximum possible SOS-rank for all the tensors in this cone. We first deduce an upper bound for general tensors that have SOS decomposition and the SOS-width for general SOS tensor cone using the known results in the literature of polynomial theory. Then, we provide an explicit sharper estimate for the SOS-rank of SOS tensor decomposition with bounded exponent and identify the SOS-width for the tensor cone consisting of all tensors with bounded exponent that have SOS decompositions. Finally, as applications, we show how the SOS tensor decomposition can be used to compute the minimum $H$-eigenvalue of an even order symmetric extended $Z$-tensor and test the positive definiteness of an associated multivariate form. Numerical experiments are also provided to show the efficiency of the proposed numerical methods ranging from small size to large size numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 주요 유형의 구조 텐서가 합의 제곱(SOS) 텐서 분해를 갖는지 여부를 규명하는 것.
• 특히 지수의 범위가 제한된 텐서에 대해 SOS-랭크와 SOS-너비를 분석하는 것.
• 구조 텐서와 관련된 다변수 다항식의 최소 $H$-고유값을 효율적으로 계산하고 정정의성을 테스트하기 위한 수치적 방법을 개발하는 것.
• 지수의 범위가 제한된 텐서 콘에 대해 SOS-랭크와 SOS-너비에 대한 명시적이고 날카운 상한을 제공하는 것.

제안 방법

• 짝수계수이면서 대칭인 다양한 구조 텐서—예를 들어 양의 코시, 약한 대각지배, $B_0$, 더블 $B$, 쿼드러플 $B_0$, $MB_0$, $H$, 및 확장된 $Z$-텐서—가 짝수계수이면서 대칭일 경우 SOS 분해를 갖는다는 것을 증명한다.
• SOS-랭크를 관련 동차 다항식의 SOS 분해에 포함된 제곱의 최소 개수로 정의하고, SOS-너비를 주어진 텐서 콘에서의 최대 SOS-랭크로 정의한다.
• 다항식 이론의 기존 결과를 활용하여 일반적인 SOS 텐서 분해에 대해 상한을 유도한 후, 지수의 범위가 제한된 텐서에 대해 이를 개선한다.
• SOS-랭크 계산을 정수형 행렬 제약 조건 하의 랭크 최적화 문제로 재구성한다.
• YALMIP과 SDPNAL을 사용하여 $H$-고유값 문제의 SOS 리프레젠테이션을 정수형 프로그래밍(SDP)으로 해결한다.
• 정정의성 테스트의 정확성을 검증하기 위해 제어된 대각지배를 갖는 확장된 $Z$-텐서의 수치 테스트 인스턴스를 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짝수계수 대칭 구조 텐서, 예를 들어 $B_0$-텐서와 $H$-텐서가 합의 제곱(SOS) 텐서 분해를 갖는가?
• RQ2 모든 짝수계수 대칭 텐서 중에서 지수의 범위가 제한된 텐서가 SOS 분해를 갖는 콘의 정확한 SOS-너비는 무엇인가?
• RQ3 지수의 범위가 제한된 구조 텐서의 SOS-랭크를 명시적이고 날카운 방식으로 추정할 수 있는가?
• RQ4 SOS 텐서 분해를 사용하여 확장된 $Z$-텐서의 최소 $H$-고유값을 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 확장된 $Z$-텐서와 관련된 다변수 다항식의 정정의성을 신뢰성 있게 테스트할 수 있는가?

주요 결과

• 다양한 유형의 구조 텐서—$B_0$-텐서, $H$-텐서, 및 확장된 $Z$-텐서—가 짝수계수이면서 대칭일 경우 SOS 텐서 분해를 갖는다.
• 텐서의 SOS-랭크는 정수형 행렬 제약 조건 하의 랭크 최적화 문제의 최적값과 같다.
• 지수의 범위가 제한된 텐서에 대해 날카운 명시적 상한이 유도되었으며, 해당 텐서 콘의 정확한 SOS-너비가 규명되었다.
• SOS 분해를 통해 다항식 최적화와 정수형 프로그래밍을 통한 최소 $H$-고유값의 효율적 계산이 가능해진다.
• 수치 실험 결과, $n=100$이고 $m=4,6$인 대규모 문제를 포함하여 100개의 무작위 인스턴스에서 다변수 다항식의 정정의성 식별에 대해 100% 정확도를 보였다.
• 이 방법은 소형에서 대형 문제까지 효과적으로 처리하며, SDPNAL과 YALMIP를 활용한 정수형 프로그래밍 재구성 과정을 통해 확장성과 강인성을 입증하였다.