[論文レビュー] Space-time Curvature of Classical Electromagnetism

R. W. M. Woodside|ArXiv.org|Oct 8, 2004

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Weylの共形テンソル内の曲率項—$\mathbf{C}_F$—を特定することで、古典的電磁気学と一般相対性理論の新しい統一を提案する。$\mathbf{C}_F$ は電磁場の偏光および位相情報を取り込むが、Maxwellのストレステンソルだけでは捉えきれない。主な結果は、$\mathbf{C}_F$ が電磁場強度と双対場に依存する局所的重力場として明示的に導出されたことであり、幾何学と電磁気学を統合するとともに、位相的制約によって磁気モノポールの存在を禁止する。

ABSTRACT

The space-time curvature carried by electromagnetic fields is discovered and a new unification of geometry and electromagnetism is found. Curvature is invariant under charge reversal symmetry. Electromagnetic field equations are examined with De Rham co homology theory. Radiative electromagnetic fields must be exact and co exact to preclude unobserved massless topological charges. Weyl's conformal tensor, here called ``the gravitational field'', is decomposed into a divergence-free non-local piece with support everywhere and a local piece with the same support as the matter. By tuning a local gravitational field to a Maxwell field the electromagnetic field's local gravitational field is discovered. This gravitational field carries the electromagnetic field's polarization or phase information, unlike Maxwell's stress-energy tensor. The unification assumes Einstein's equations and derives Maxwell's equations from curvature assumptions. Gravity forbids magnetic monopoles! This unification is stronger than the Einstein-Maxwell equations alone, as those equations must produce the electromagnetic field's local gravitational field and not just any conformal tensor. Charged black holes are examples. Curvature of radiative null electromagnetic fields is characterized.

研究の動機と目的

• Maxwellのストレステンソルを超えて、電磁場の寄与が時空曲率に与える影響を特定することで、古典的電磁気学と一般相対性理論を統一すること。
• Maxwellのストレステンソルが偏光および位相情報を符号化できないという限界を克服し、Weylの共形テンソル内に新しい曲率項$\mathbf{C}_F$を導入すること。
• アインシュタイン方程式における第二ビアンキ恒等式の完全な形が、電磁場の曲率に基づく仮定のもとでMaxwell方程式を導出できることを示すこと。
• De Rhamコホモロジーおよび双対性不変性からの位相的制約が、観測されない磁気モノポールおよび質量ゼロの位相的電荷を自然に禁止することを示すこと。
• $\mathbf{C}_F$ を、非局所的共形曲率とは異なり、物理的に有意義で局所的な重力場として確立すること。この場は電磁場の位相データを保持している。

提案手法

• Weylの共形テンソルを局所的項$\mathbf{C}_F$ と非局所的項$\mathbf{M}_F$ に分解し、$\mathbf{C}_F$ が電磁場強度$F_{\mu\nu}$ およびその双対$*F_{\mu\nu}$ に明示的に依存することを示す。
• リーマン曲率テンソルの第二ビアンキ恒等式の完全な形を用いて、電磁場の曲率仮定のもとでMaxwell方程式を導出する。これは、あらかじめ方程式を仮定するのではなく、逆に曲率から導く。
• De Rhamコホモロジー理論を用いて電磁場の位相的構造を分析し、放射場が正確かつ余正確である必要があることから、観測されない質量ゼロの位相的電荷を除外する。
• 双対性不変性および曲率に全球的制約を課すことにより、古典的電磁気学と整合し、磁気モノポールの存在を排除する。
• $\mathbf{C}_F$ の明示的表現を、$F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}$、$*F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}$、およびトレース項のローレンツ不変な組み合わせとして導出する。結合定数は$8\pi G\varepsilon_0/c^4 \approx 1.8382 \times 10^{-54}\ \text{V}^{-2}$ である。
• $\mathbf{C}_F$ が電荷反転対称性に対して不変であり、偏光／位相情報を持つが、Maxwellのストレステンソルとは異なり、それとは異なることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電磁場の偏光および位相情報は、Maxwellのストレステンソルを超えて、時空曲率に符号化可能か？
• RQ2 Weylの共形テンソルには、電磁場に直接依存し、その位相を運ぶ局所的重力場項が存在するか？
• RQ3 De Rhamコホモロジー理論は、放射的電磁場の位相的構造にどのような制約を課え、観測されない質量ゼロの電荷を除外するか？
• RQ4 電磁場の曲率に基づく仮定のもとで、リーマン曲率テンソルの第二ビアンキ恒等式の完全な形からMaxwell方程式を導出可能か？
• RQ5 アインシュタイン方程式の文脈において、$\mathbf{C}_F$ の物理的意義は何か？また、位相的および幾何的制約によって磁気モノポールは禁止されるか？

主な発見

• 本稿は、電磁場に依存し、その偏光および位相情報を保持するWeyl共形テンソルの局所的項$\mathbf{C}_F$ の明示的表現を導出する。その式は$C^\alpha{}_{\beta\gamma\delta}^F = 8\pi G\varepsilon_0 c^{-4} \left[ \frac{3}{2}(F^{\alpha\beta}F_{\gamma\delta} - *F^{\alpha\beta}*F_{\gamma\delta}) - \frac{1}{4}\delta^{\alpha\beta}_{\gamma\delta}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \frac{1}{4}\eta^{\alpha\beta}_{\phantom{\alpha\beta}\gamma\delta}*F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \right]$ である。
• 電磁場がもたらす完全な時空曲率$\mathbf{R}_F$ は、$\mathbf{R}_F = \mathbf{M}_F + \mathbf{C}_F$ と分解され、$\mathbf{M}_F$ は非局所的で発散なしの部分、$\mathbf{C}_F$ は局所的で位相を運ぶ重力場である。
• 放射電磁場がDe Rhamコホモロジー理論において正確かつ余正確であるという要請により、観測されない質量ゼロの位相的電荷が除外され、この条件は新しい統一理論において自然に満たされる。
• この統一理論は、磁気モノポールを仮定によって禁止するのでなく、ベクトルポテンシャルの全球的構造および双対性不変性に起因する位相的および幾何的制約によって禁止する。
• 結合定数$8\pi G\varepsilon_0 / c^4 \approx 1.8382 \times 10^{-54}\ \text{V}^{-2}$ は小さいが有限であり、電磁場が原理的に曲率に寄与することを示唆する。$\mathbf{C}_F$ はその小ささにもかかわらず物理的に有意義である。
• 理論はアインシュタイン方程式と整合しており、Weylテンソルに制約を課えることでそれを拡張し、物理的に意味のある解のみを選別し、重力放射を記述しないリッチ平坦な宇宙を除外する。